مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب النحاس الأصفر تحت الحمل المحوري.

P = 115 kNd = 16 mmL = 0,5 mE = 100 GPa

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

مقطع الفولاذ (القطر 25 mm والطول 500 mm وE = 200 GPa) ومقطع من البرونز (القطر 50 mm والطول 500 mm وE = 110 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 20 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ₂ في المقطع 2.

المقطع 1: الفولاذ, Ø25 mm, 500 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: البرونز, Ø50 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت مدرَّج من الألومنيوم مثبَّت عند A. الجزء AB قطره 60 mm وطوله 0,8 m؛ والجزء BC قطره 50 mm وطوله 1,5 m. يؤثّر عزم التواء 1000 N·m عند الطرف الحر C. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

T = 1000 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 0,8 md₂ = 50 mm, L₂ = 1,5 m

τ_max = MPa

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الفولاذ قطره 60 mm مثبَّت في جدارين صلبين عند طرفيه A و B. يؤثّر عزم التواء 1000 N·m عند C، على بعد 0,5 m من A و 1,5 m من B. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

d = 60 mmT₀ = 1000 N·ma = 0,5 mb = 1,5 m

τ_max = MPa

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

30 kN @ 3 m10 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 3 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mP = 25 kN عند 3 mw = 3 kN/m من 0 إلى 5 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 100 mm × 300 mm فيه ثقب دائري قطره 40 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 90 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 100 mmh = 300 mmd = 40 mmمركز الثقب: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 230 mm وسُمكها 22 mm، وعمق كلي 300 mm، وجذع سُمكه 12 mm. يحمل عزم انحناء مقداره 120 kN·m حول المحور x. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_j عند ملتقى الجذع والشفة العلوية.

B = 230 mmH = 300 mmt_f = 22 mmt_w = 12 mmM = 120 kN·m

σ_j = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 0 MPa و σᵧ = 110 MPa و τₓᵧ = −30 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = 0 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −30 MPa

τ_max = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 40 MPa و σᵧ = −10 MPa و τₓᵧ = 10 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 60° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = 40 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P عند طرفه الحر. باستخدام التراكب، أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

P = 18 kNw = 10 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد b = 3 m من الركيزة B. أوجد أقصى ترخيم δ_max للكمرة.

P = 3 kNb = 3 mL = 8 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 40 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 80 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 2,86 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·16²/4 = 201,1 mm²

σ = P/A = 115·1000/201,1 = 572 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس الأصفر = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 572/100000 = 0,00572 = 5720 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,00572·500 mm = 2,86 mm

الإجابة

δ = 2,86 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ₂ = 7,003 MPa

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

الصلابات

k₁ = 200000·490,9/500 = 196350 N/mm

k₂ = 110000·1963/500 = 431969 N/mm

حصة المقطع 2

F₂ = 20000·431969/628319 = 13750 N

الإجهاد

σ₂ = 13750/1963 = 7,003 MPa (ضغط)

الإجابة

σ₂ = 7,003 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 40,74 MPa

الإجهاد في كل جزء

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

τ_AB = 16·1 × 10⁶/(π·60³) = 23,58 MPa

τ_BC = 16·1 × 10⁶/(π·50³) = 40,74 MPa

الإجابة

τ_max = 40,74 MPa

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 17,68 MPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω. عندما يكون الطرفان مثبَّتين، يعطي علم السكون وحده T_A + T_B = T₀ فقط؛ والمعادلة الثانية هي التوافق (تساوي التواء الجزأين عند المقطع المحمَّل).

الاتزان والتوافق

T_A + T_B = 1000

T_A·a = T_B·b

T_A = 1000·1,5/2 = 750 N·m

T_B = 1000·0,5/2 = 250 N·m

أقصى إجهاد قص

أكبر العزمين يحكم (القطر نفسه).

τ_max = 16·750000/(π·60³) = 17,68 MPa

الإجابة

τ_max = 17,68 MPa

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: D (x = 3 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 45 kN, R₂ = 45 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 40, M_C = 70, M_D = 90 kN·m, M_E = 70, M_F = 40, M_G = 0

الإجابة

علامة D: M_D = 90 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 39 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 3·5 = 15 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 25·3 + 3·5·2,5

R_B = 112,5/5 = 22,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 22,5 = 17,5 kN

اقطع عند x = 3 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 17,5·3 − 3·3·1,5 = 39 kN·m

الإجابة

M_x = 39 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 220,2 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (30000·150 − 1257·90)/(30000 − 1257) = 152,6 mm

اللوح الكامل حول ȳ

100·300³/12 + 30000·−2,623² = 225,2 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−62,62² = 5,054 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 220,2 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 220,2 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_j = 72,21 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

عرض الفراغين معًا (B − t_w) وارتفاعهما h_w = H − 2t_f، ويشتركان في المحور x.

h_w = 300 − 2·22 = 256 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (230·300³ − 218·256³)/12

I_x = 2,127 × 10⁸ mm⁴

إجهاد الانحناء

y = 150 − 22 = 128 mm

σ = M·y/I = 1,2 × 10⁸·128/2,127 × 10⁸ = 72,21 MPa

الإجابة

σ_j = 72,21 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 62,65 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((0 − 110)/2)² + −30²) = 62,65 MPa

الإجابة

τ_max = 62,65 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = 11,16 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 15 + 25·−0,5 + 10·0,866 = 11,16 MPa

الإجابة

σ_θ = 11,16 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 59,41 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 18000 N, w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(3EI) = 18000·2500³/(3·2,4 × 10¹²) = 39,06 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 10·2500⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 20,35 mm

اجمعها

δ = 39,06 + 20,35 = 59,41 mm

الإجابة

δ = 59,41 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 4,088 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 3000 N, b = 3000 mm, L = 8000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

موضع الحد الأقصى

جعل الميل في الجزء الأطول صفرًا يعطي الموضع.

x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 3000²)/3) = 4282 mm

أقصى ترخيم

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 4,088 mm

الإجابة

δ_max = 4,088 mm

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 9,922 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·2500 = 5000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/5000² = 9922 N = 9,922 kN

الإجابة

P_cr = 9,922 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 21,93 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 2·3000 = 6000 mm

KL/r = 6000/20 = 300

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/300² = 21,93 MPa

الإجابة

σ_cr = 21,93 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials