مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 20 mm والطول 300 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من البرونز (القطر 50 mm والطول 200 mm وE = 110 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,4 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: البرونز, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 20 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 120 MPa) داخل أنبوب من النحاس الأصفر (القطر الخارجي 120 mm والقطر الداخلي 60 mm وE = 100 GPa والإجهاد المسموح 60 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 120 MPaالأنبوب: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 60 MPa

P_max = kN

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مجوّف من الألومنيوم (قطره الخارجي 75 mm، وقطره الداخلي 56 mm، وطوله 2 m) مثبَّت عند أحد طرفيه ويُلوى بعزم 1000 N·m عند الطرف الآخر. أوجد زاوية الالتواء φ بالدرجات.

T = 1000 N·md_o = 75 mmd_i = 56 mmL = 2 mG = 26 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من النحاس الأصفر قطره 50 mm مثبَّت عند A. يؤثّر عزم التواء 1500 N·m عند B على بعد 1,5 m من A، ويؤثّر عزم التواء 500 N·m في الاتجاه نفسه عند الطرف الحر C، على بعد 1,5 m إضافية. أوجد مقدار زاوية التواء الطرف C φ_C بالدرجات.

d = 50 mmT_B = 1500 N·mT_C = 500 N·mAB = 1,5 mBC = 1,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 1,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mw = 4 kN/m من 0 إلى 5 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 2,5 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد أقصى عزم انحناء موجب M_max بين الركيزتين.

L = 7,5 mw = 5 kN/m من 0 إلى 7,5 mركيزتان عند x = 0 و x = 5 m

M_max = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 150 mm × 200 mm فيه ثقب دائري قطره 50 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 120 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 150 mmh = 200 mmd = 50 mmمركز الثقب: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 10 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_الأعلى عند الحافة العلوية.

b_f = 160 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 180 mmM = 10 kN·m

σ_الأعلى = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 30 MPa و σᵧ = −20 MPa. إلى أيّ حد يمكن أن يكبر إجهاد القص τ_xy (مقداره) قبل أن يبلغ أكبر إجهاد رئيسي 75 MPa؟

σ_x = 30 MPaσ_y = −20 MPaσ₁ = 75 MPa

τ_xy = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 80 MPa و σᵧ = −10 MPa و τₓᵧ = 20 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 60° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = 80 MPaσ_y = −10 MPaτ_xy = 20 MPaθ = 60°

σ_θ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 2,5 m من الركيزة A. أوجد الترخيم δ_P تحت الحمل.

P = 18 kNa = 2,5 mL = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كابولي مسنود مثبَّت عند A ومرتكز ارتكازًا بسيطًا (مسنود) عند B. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. EI ثابت. أوجد ردّ الفعل R_B عند الركيزة الساندة.

L = 4 mw = 10 kN/m

R_B = kN

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 40 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. يجب أن يحمل 95 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 95 kNn = 2L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 70,17 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1963 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·314,2) = 4,775 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(110000·1963) = 9,26 × 10⁻⁷ mm/N

الحمل

P = 0,4/5,701 × 10⁻⁶ = 70168 N = 70,17 kN

الإجابة

P = 70,17 kN

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 546,6 kN

المساحات

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·8482 = 9,111 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,0006, 0,0006) = 0,0006 (النحاس الأصفر)

أكبر حمل

P_max = 0,0006·9,111 × 10⁸ = 546637 N = 546,6 kN

الإجابة

P_max = 546,6 kN

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 2,059 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2,141 × 10⁶ mm⁴

زاوية الالتواء

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 2 m = 2000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·2000/(26000·2,141 × 10⁶) = 0,03593 rad

φ = 0,03593·180/π = 2,059°

الإجابة

φ = 2,059°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: φ_C = 8,979 °

عزوم الالتواء الداخلية

اتجاه T_C مأخوذ موجبًا.

T_BC = T_C = 500 N·m

T_AB = T_C + T_B = 500 + 1500 = 2000 N·m

التواء كل جزء

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_AB = 2 × 10⁶·1500/(39000·613592) = 0,1254 rad

φ_BC = 500000·1500/(39000·613592) = 0,03134 rad

التواء الطرف C

φ_C = 0,1254 + 0,03134 = 0,1567 rad → |φ_C| = 8,979°

الإجابة

φ_C = 8,979°

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 10,5 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 4·5 = 20 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 4·5·2,5

R_B = 50/5 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

اقطع عند x = 1,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 10·1,5 − 4·1,5·0,75 = 10,5 kN·m

الإجابة

M_x = 10,5 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 8,789 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·7,5 = 37,5 kN، تؤثّر عند x̄ = 3,75 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·7,5·3,75

R_B = 140,6/5 = 28,13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 37,5 − 28,13 = 9,375 kN

انعدام القص

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 9,375/5 = 1,875 m

أقصى عزم موجب

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 9,375²/(2·5) = 8,789 kN·m

الإجابة

M_max = 8,789 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 98,85 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (30000·100 − 1963·120)/(30000 − 1963) = 98,6 mm

اللوح الكامل حول ȳ

150·200³/12 + 30000·1,401² = 100,1 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·50⁴/64 + 1963·21,4² = 1,206 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 98,85 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 98,85 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأعلى = 42,13 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 160·10 = 1600 mm², y_f = 180 + 10/2 = 185 mm

الجذع: A_w = 12·180 = 2160 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1600·185 + 2160·90)/3760 = 130,4 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 160·10³/12 + 1600·(185 − 130,4)² = 4,779 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 12·180³/12 + 2160·(90 − 130,4)² = 9,362 × 10⁶ mm⁴

I_x = 4,779 × 10⁶ + 9,362 × 10⁶ = 1,414 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 190 − 130,4 = 59,57 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·59,57/1,414 × 10⁷ = 42,13 MPa

الإجابة

σ_الأعلى = 42,13 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_xy = 65,38 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف القطر المطلوب

C = (30 + (−20))/2 = 5 MPa

R = σ₁ − C = 75 − 5 = 70 MPa

إجهاد القص

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(70² − 25²) = 65,38 MPa

الإجابة

τ_xy = 65,38 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = 29,82 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 35 + 45·−0,5 + 20·0,866 = 29,82 MPa

الإجابة

σ_θ = 29,82 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_P = 1,883 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 18000 N, a = 2500 mm, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

الترخيم تحت الحمل

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 18000·2500²·1500²/(3·1,12 × 10¹³·4000) = 1,883 mm

الإجابة

δ_P = 1,883 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: R_B = 15 kN

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). في الكمرة غير المحدّدة استاتيكيًا، أزل ركيزة زائدة واشترط أن يكون الترخيم هناك صفرًا (التوافق).

أزل الركيزة الساندة

بدون الركيزة الساندة تكون الكمرة كابوليًا. وكان طرفها الحر سيترخّم تحت الحمل.

δ_load = wL⁴/(8EI)

التوافق عند الركيزة الساندة

قوة الركيزة الساندة R_B وحدها ترفع الطرف الحر بمقدار R_BL³/(3EI). الركيزة الساندة تُبقي ترخيم B صفرًا، لذا يجب أن يلغي أحدهما الآخر. ويُختصر EI.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·10·4/8 = 15 kN

الإجابة

R_B = 15 kN

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 86,82 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1000² = 86818 N = 86,82 kN

الإجابة

P_cr = 86,82 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 44,28 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2·95000 = 190000 N

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·190000·1400²/(π³·200000))^(1/4) = 44,28 mm

الإجابة

d = 44,28 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 126,5، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials