مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب الألومنيوم، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 20 kNd = 25 mmL = 3 mE = 70 GPa

ε = µε

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 65 kNالجزء 1: Ø25 mm، 2 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 1 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)

σ_max = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الفولاذ مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 750 N·md = 25 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 75 kW عند 1000 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 75 kWN = 1000 rpmd_o = 40 mmd_i = 20 mm

τ_max = MPa

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد قوة القص V_x عند المقطع x = 1 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 6 mw = 3 kN/m من 0 إلى 6 mx = 1 m

V_x = kN

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

15 kN @ 0 m50 kN @ 6 m45 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع مجرى موضوع وجانبه المفتوح إلى الأعلى: لوح قاعدة عرضه 180 mm مع ساقين قائمتين، ارتفاعه الكلي 100 mm. سُمك القاعدة والساقين كلها 14 mm. أوجد ارتفاع المركز ȳ فوق الحافة السفلية.

b = 180 mmh = 100 mmt = 14 mm

ȳ = mm

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

كمرة من الحديد الزهر لها مقطع T الموضّح، والشفة في الأعلى. الإجهادات المسموحة 30 MPa في الشد و 100 MPa في الضغط. أوجد أكبر عزم انحناء سالب (تحدّب) M_allow يمكن أن تتحمّله الكمرة (أعطِ مقداره).

b_f = 160 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 180 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 110 MPa و σᵧ = 20 MPa. إلى أيّ حد يمكن أن يكبر إجهاد القص τ_xy (مقداره) قبل أن يبلغ أكبر إجهاد رئيسي 160 MPa؟

σ_x = 110 MPaσ_y = 20 MPaσ₁ = 160 MPa

τ_xy = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = 80 MPa، σᵧ = 30 MPa و τₓᵧ = −30 MPa (σ_z = 0). إجهاد خضوع المادة 350 MPa. أوجد معامل الأمان n ضد الخضوع وفق معيار فون ميزس (طاقة التشوّه).

σ_x = 80 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −30 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 1 m من الركيزة A. أوجد الترخيم δ_P تحت الحمل.

P = 18 kNa = 1 mL = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 16 kNw = 5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 80 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 40 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 40 kNn = 3L = 1 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 582,1 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 20·1000/490,9 = 40,74 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الألومنيوم = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 40,74/70000 = 0,0005821 = 582,1 µε

الإجابة

ε = 582,1 µε

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 206,9 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 132,4 MPa

σ₂ = 206,9 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 206,9 MPa

الإجابة

σ_max = 206,9 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 14,01 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 750·1000·1000/(80000·38350) = 0,2445 rad

φ = 0,2445·180/π = 14,01°

الإجابة

φ = 14,01°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 60,79 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 75000/104,7 = 716,2 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(40⁴ − 20⁴)/32 = 235619 mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 716197·20/235619 = 60,79 MPa

الإجابة

τ_max = 60,79 MPa

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: V_x = 6 kN

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·6·3

R_B = 54/6 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 9 = 9 kN

اقطع عند x = 1 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

V = R_A − (كل الأحمال إلى الأسفل على يسار المقطع)

V_x = 9 − 3·1 = 6 kN

الإجابة

V_x = 6 kN

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 4 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 16,67 kN, R₂ = 93,33 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = −15, M_C = −13,33, M_D = −56,67, M_E = −100 kN·m, M_F = −50, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = −100 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: ȳ = 31,43 mm

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلات

خذ القاعدة بكامل عرضها والساقين فوقها (بارتفاع h − t)، حتى لا يُحسب شيء مرتين.

القاعدة: A₁ = 180·14 = 2520 mm², y₁ = 7 mm

الساقان: A₂ = 2·14·86 = 2408 mm², y₂ = 14 + 86/2 = 57 mm

المركز

ȳ = (2520·7 + 2408·57)/4928 = 31,43 mm

الإجابة

ȳ = 31,43 mm

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: M_allow = 15,93 kN·m

المركز

ȳ = (4800·195 + 3240·90)/8040 = 152,7 mm

الحافة العلوية: c = 210 − 152,7 = 57,31 mm

عزم القصور الذاتي للمساحة

I = 160·30³/12 + 4800·42,31² + 18·180³/12 + 3240·62,69² = 3,043 × 10⁷ mm⁴

العزم المسموح من كل حافة

التحدّب: الأعلى في شد، والأسفل في ضغط.

الحافة العلوية: M = 30·3,043 × 10⁷/57,31 = 15,93 kN·m

الحافة السفلية: M = 100·3,043 × 10⁷/152,7 = 19,93 kN·m

القيمة الحاكمة

M_allow = min = 15,93 kN·m (الحافة العلوية)

الإجابة

M_allow = 15,93 kN·m

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_xy = 83,67 MPa

نصف القطر المطلوب

C = (110 + 20)/2 = 65 MPa

R = σ₁ − C = 160 − 65 = 95 MPa

إجهاد القص

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(95² − 45²) = 83,67 MPa

الإجابة

τ_xy = 83,67 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: n = 4,015

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σ_Y؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σ_Y/2.

الإجهادات الرئيسية

C = 55 MPa, R = 39,05 MPa

σ₁ = 94,05 MPa, σ₂ = 15,95 MPa, σ₃ = 0

فون ميزس

σ_vM = √(94,05² − 94,05·15,95 + 15,95²) = 87,18 MPa

n = 350/87,18 = 4,015

الإجابة

n = 4,015

n > 1 يعني أن النقطة لا تخضع؛ وتريسكا أكثر تحفّظًا قليلًا من فون ميزس.

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_P = 3,175 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 18000 N, a = 1000 mm, b = 2000 mm, L = 3000 mm

EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

الترخيم تحت الحمل

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 18000·1000²·2000²/(3·2,52 × 10¹²·3000) = 3,175 mm

الإجابة

δ_P = 3,175 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 46,79 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 16000 N, w = 5 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(48EI) = 16000·5000³/(48·1,76 × 10¹²) = 23,67 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 23,12 mm

اجمعها

δ_max = 23,67 + 23,12 = 46,79 mm

الإجابة

δ_max = 46,79 mm

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 154,3 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·3000 = 3000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·2,011 × 10⁶/3000² = 154342 N = 154,3 kN

الإجابة

P_cr = 154,3 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 43,37 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 3·40000 = 120000 N

KL = 1·1000 = 1000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·1000²/(π³·70000))^(1/4) = 43,37 mm

الإجابة

d = 43,37 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 92,23، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials