مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب من الفولاذ (القطر 40 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من الألومنيوم (القطر الخارجي 120 mm والقطر الداخلي 60 mm وE = 70 GPa). طول كل منهما 300 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 150 kN. أوجد الانضغاط δ.

P = 150 kNالقضيب: Ø40 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø120/Ø60 mm, E = 70 GPaL = 300 mm

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 25 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 200 MPa) داخل أنبوب من الألومنيوم (القطر الخارجي 80 mm والقطر الداخلي 50 mm وE = 70 GPa والإجهاد المسموح 50 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø25 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaالأنبوب: Ø80/Ø50 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 50 MPa

P_max = kN

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مجوّف من الفولاذ (قطره الخارجي 60 mm، وقطره الداخلي 30 mm، وطوله 0,5 m) مثبَّت عند أحد طرفيه ويُلوى بعزم 1000 N·m عند الطرف الآخر. أوجد زاوية الالتواء φ بالدرجات.

T = 1000 N·md_o = 60 mmd_i = 30 mmL = 0,5 mG = 80 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الألومنيوم قطره 50 mm مثبَّت في جدارين صلبين عند طرفيه A و B. يؤثّر عزم التواء 100 N·m عند C، على بعد 1,2 m من A و 1 m من B. أوجد عزم ردّ الفعل T_A عند الجدار A.

d = 50 mmT₀ = 100 N·ma = 1,2 mb = 1 m

T_A = N·m

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

20 kN @ 3 m60 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 3,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 8 mP = 10 kN عند 4 mw = 8 kN/m من 0 إلى 8 mx = 3,5 m

M_x = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 260 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

مقطع I ملحوم له شفة علوية 100 × 12 mm، وجذع ارتفاعه 200 mm وسُمكه 14 mm، وشفة سفلية 200 × 20 mm (العرض × السُمك). أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

الشفة العلوية: 100 × 12 mmالجذع: 14 × 200 mmالشفة السفلية: 200 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 40 MPa و σᵧ = −40 MPa و τₓᵧ = −20 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θ_p من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.

σ_x = 40 MPaσ_y = −40 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

خزان أسطواني رقيق الجدار قطره الداخلي 500 mm وسُمك جداره 8 mm يحتوي غازًا عند ضغط مقيس 3 MPa. وهو مصنوع من لوح ملحوم على طول درز حلزوني يميل بزاوية 40° عن محور الأسطوانة. أوجد الإجهاد العمودي σ_n المؤثّر عبر درز اللحام.

D = 500 mmt = 8 mmp = 3 MPaα = 40°

σ_n = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 5,5 m من الركيزة A. أوجد الترخيم δ_P تحت الحمل.

P = 11 kNa = 5,5 mL = 8 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 13 kNw = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,05325 mm

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·8482 = 8,451 × 10⁸ N

الانضغاط

δ = 150000·300/8,451 × 10⁸ = 0,05325 mm

الإجابة

δ = 0,05325 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 223,3 kN

المساحات

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·490,9 + 70·10³·3063 = 3,126 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,001, 0,0007143) = 0,0007143 (الألومنيوم)

أكبر حمل

P_max = 0,0007143·3,126 × 10⁸ = 223277 N = 223,3 kN

الإجابة

P_max = 223,3 kN

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 0,3002 °

عزم القصور القطبي

J = π(60⁴ − 30⁴)/32 = 1,193 × 10⁶ mm⁴

زاوية الالتواء

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

L = 0,5 m = 500 mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ = TL/(GJ) = 1 × 10⁶·500/(80000·1,193 × 10⁶) = 0,00524 rad

φ = 0,00524·180/π = 0,3002°

الإجابة

φ = 0,3002°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: T_A = 45,45 N·m

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω. عندما يكون الطرفان مثبَّتين، يعطي علم السكون وحده T_A + T_B = T₀ فقط؛ والمعادلة الثانية هي التوافق (تساوي التواء الجزأين عند المقطع المحمَّل).

الاتزان والتوافق

T_A + T_B = 100

T_A·a = T_B·b

T_A = 100·1/2,2 = 45,45 N·m

T_B = 100·1,2/2,2 = 54,55 N·m

الإجابة

T_A = 45,45 N·m

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 4 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 30 kN, R₂ = 50 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 30, M_C = 60, M_D = 90, M_E = 100 kN·m, M_F = 50, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = 100 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 80,5 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 10·4 + 8·8·4

R_B = 296/8 = 37 kN

ΣF_y = 0: R_A = 74 − 37 = 37 kN

اقطع عند x = 3,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 37·3,5 − 8·3,5·1,75 = 80,5 kN·m

الإجابة

M_x = 80,5 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 5,665 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 260·10 = 2600 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

الجذع: A_w = 12·120 = 1440 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2600·125 + 1440·60)/4040 = 101,8 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 260·10³/12 + 2600·(125 − 101,8)² = 1,417 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 12·120³/12 + 1440·(60 − 101,8)² = 4,248 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,417 × 10⁶ + 4,248 × 10⁶ = 5,665 × 10⁶ mm⁴ = 5,665 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 5,665 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 59,13 × 10⁶ mm⁴

قسّم إلى ثلاثة مستطيلات

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة العلوية: A = 1200 mm², y = 226 mm

الجذع: A = 2800 mm², y = 120 mm

الشفة السفلية: A = 4000 mm², y = 10 mm

المركز

ȳ = (1200·226 + 2800·120 + 4000·10)/8000 = 80,9 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة العلوية: 100·12³/12 + 1200·145,1² = 2,528 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 14·200³/12 + 2800·39,1² = 1,361 × 10⁷ mm⁴

الشفة السفلية: 200·20³/12 + 4000·70,9² = 2,024 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,528 × 10⁷ + 1,361 × 10⁷ + 2,024 × 10⁷

I_x = 5,913 × 10⁷ mm⁴ = 59,13 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 59,13 × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_p = −13,28 °

الزاوية على الدائرة

تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, 40 − −40) = −26,57°

الزاوية على العنصر

θ_p = −13,28°

الإجابة

θ_p = −13,28°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_n = 74,38 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. الأسطوانة الرقيقة الجدار: الإجهاد المحيطي σ_h = pr/t والإجهاد المحوري σ_a = pr/(2t)؛ وهما الإجهادان الرئيسيان في الجدار.

إجهادات الجدار

r = 500/2 = 250 mm

σ_h = pr/t = 3·250/8 = 93,75 MPa

σ_a = pr/(2t) = 46,88 MPa

التحويل إلى الدرز

خذ x على امتداد المحور (σ_a) و y على امتداد المحيط (σ_h). العمودي على الدرز يصنع 90° − α مع المحور.

σ_n = 46,88·sin²40° + 93,75·cos²40° = 74,38 MPa

الإجابة

σ_n = 74,38 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_P = 7,737 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 11000 N, a = 5500 mm, b = 2500 mm, L = 8000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

الترخيم تحت الحمل

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 11000·5500²·2500²/(3·1,12 × 10¹³·8000) = 7,737 mm

الإجابة

δ_P = 7,737 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 9,535 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 13000 N, w = 5 N/mm, L = 3000 mm, EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(48EI) = 13000·3000³/(48·1,32 × 10¹²) = 5,54 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 3,995 mm

اجمعها

δ_max = 5,54 + 3,995 = 9,535 mm

الإجابة

δ_max = 9,535 mm

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 22,21 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·2000 = 4000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/4000² = 22207 N = 22,21 kN

الإجابة

P_cr = 22,21 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 12,34 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 2·2000 = 4000 mm

KL/r = 4000/10 = 400

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/400² = 12,34 MPa

الإجابة

σ_cr = 12,34 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials