مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب الألومنيوم تحت الحمل المحوري.

P = 95 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 45 kNالجزء 1: Ø40 mm، 1 m، النحاس (E = 117 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 1 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)

δ = mm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من النحاس الأصفر مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 200 N·md = 30 mmL = 1,2 mG = 39 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الفولاذ قطره 60 mm مثبَّت عند A. يؤثّر عزم التواء 400 N·m عند B على بعد 1 m من A، ويؤثّر عزم التواء 100 N·m في الاتجاه نفسه عند الطرف الحر C، على بعد 0,5 m إضافية. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

d = 60 mmT_B = 400 N·mT_C = 100 N·mAB = 1 mBC = 0,5 m

τ_max = MPa

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد قوة القص V_x عند المقطع x = 9,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mw = 3 kN/m من 0 إلى 10 mx = 9,5 m

V_x = kN

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 1,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 6 mP = 10 kN عند 1,5 mw = 8 kN/m من 0 إلى 6 mx = 1,5 m

M_x = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 100 mm × 240 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 60 mm وارتفاعها 40 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 144 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 100 mmh = 240 mmالفتحة: 60 × 40 mmمركز الثقب: y = 144 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 110 MPa و σᵧ = −70 MPa و τₓᵧ = −50 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θ_p من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.

σ_x = 110 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −50 MPa

θ_p = °

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 90 MPa و σᵧ = 110 MPa و τₓᵧ = 30 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 50° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = 90 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 30 MPaθ = 50°

σ_θ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد ميل الكمرة θ_A عند الركيزة A، بالراديان.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 36 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 10 kNw = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 1,382 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 95·1000/490,9 = 193,5 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الألومنيوم = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 193,5/70000 = 0,002765 = 2765 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,002765·500 mm = 1,382 mm

الإجابة

δ = 1,382 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 1,738 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 35,81 MPa

σ₂ = 143,2 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 35,81·1000/117000 = 0,3061 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 143,2·1000/100000 = 1,432 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,738 mm

الإجابة

δ = 1,738 mm

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 4,434 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1200/(39000·79522) = 0,07739 rad

φ = 0,07739·180/π = 4,434°

الإجابة

φ = 4,434°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 11,79 MPa

عزوم الالتواء الداخلية

اتجاه T_C مأخوذ موجبًا.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C + T_B = 100 + 400 = 500 N·m

أقصى إجهاد قص

الجزء ذو أكبر عزم داخلي له أكبر إجهاد (القطر نفسه).

|T|_max = 500 N·m

τ_max = 16·500000/(π·60³) = 11,79 MPa

الإجابة

τ_max = 11,79 MPa

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: V_x = −13,5 kN

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 3·10·5

R_B = 150/10 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

اقطع عند x = 9,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

V = R_A − (كل الأحمال إلى الأسفل على يسار المقطع)

V_x = 15 − 3·9,5 = −13,5 kN

الإجابة

V_x = −13,5 kN

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 38,25 kN·m

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 10·1,5 + 8·6·3

R_B = 159/6 = 26,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 58 − 26,5 = 31,5 kN

اقطع عند x = 1,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 31,5·1,5 − 8·1,5·0,75 = 38,25 kN·m

الإجابة

M_x = 38,25 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 11,36 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 160 + 20/2 = 170 mm

الجذع: A_w = 8·160 = 1280 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·170 + 1280·80)/6880 = 153,3 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 280·20³/12 + 5600·(170 − 153,3)² = 1,757 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 8·160³/12 + 1280·(80 − 153,3)² = 9,6 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,757 × 10⁶ + 9,6 × 10⁶ = 1,136 × 10⁷ mm⁴ = 11,36 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 11,36 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 113,3 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (24000·120 − 2400·144)/(24000 − 2400) = 117,3 mm

اللوح الكامل حول ȳ

100·240³/12 + 24000·2,667² = 115,4 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

60·40³/12 + 2400·26,67² = 2,027 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 113,3 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 113,3 × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_p = −14,53 °

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

الزاوية على الدائرة

تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−50, 110 − −70) = −29,05°

الزاوية على العنصر

θ_p = −14,53°

الإجابة

θ_p = −14,53°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = 131,3 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 100 + −10·−0,1736 + 30·0,9848 = 131,3 MPa

الإجابة

σ_θ = 131,3 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: θ_A = 0,0025 rad

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). الميل θ = dv/dx هو التكامل الأول لـ M/(EI)؛ وبوحدات متّسقة يخرج بالراديان.

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

ميل الطرف

θ_A = wL³/(24EI) = 2·6000³/(24·7,2 × 10¹²) = 0,0025 rad

الإجابة

θ_A = 0,0025 rad

أي 0,1432°.

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 8,053 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 10000 N, w = 15 N/mm, L = 2000 mm, EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(48EI) = 10000·2000³/(48·5,95 × 10¹¹) = 2,801 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·5,95 × 10¹¹) = 5,252 mm

اجمعها

δ_max = 2,801 + 5,252 = 8,053 mm

الإجابة

δ_max = 8,053 mm

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 17,27 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/3000² = 17272 N = 17,27 kN

الإجابة

P_cr = 17,27 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 9,835 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/6,25 = 448

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/448² = 9,835 MPa

الإجابة

σ_cr = 9,835 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials