مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب النحاس الأصفر تحت الحمل المحوري.

P = 75 kNd = 30 mmL = 1 mE = 100 GPa

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 20 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 160 MPa) داخل أنبوب من النحاس الأصفر (القطر الخارجي 120 mm والقطر الداخلي 60 mm وE = 100 GPa والإجهاد المسموح 100 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaالأنبوب: Ø120/Ø60 mm, E = 100 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من النحاس الأصفر مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 200 N·md = 30 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 30 kW عند 750 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 30 kWN = 750 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 4,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mw = 5 kN/m من 0 إلى 10 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 2 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد أقصى عزم انحناء موجب M_max بين الركيزتين.

L = 8 mw = 2 kN/m من 0 إلى 8 mركيزتان عند x = 0 و x = 6 m

M_max = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع مجرى موضوع وجانبه المفتوح إلى الأعلى: لوح قاعدة عرضه 260 mm مع ساقين قائمتين، ارتفاعه الكلي 140 mm. سُمك القاعدة والساقين كلها 14 mm. أوجد ارتفاع المركز ȳ فوق الحافة السفلية.

b = 260 mmh = 140 mmt = 14 mm

ȳ = mm

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 210 mm وسُمكها 20 mm، وعمق كلي 280 mm، وجذع سُمكه 10 mm. يحمل عزم انحناء مقداره 80 kN·m حول المحور x. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_j عند ملتقى الجذع والشفة العلوية.

B = 210 mmH = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmM = 80 kN·m

σ_j = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = −80 MPa، σᵧ = −80 MPa و τₓᵧ = −10 MPa، مع σ_z = 0. أوجد أقصى إجهاد قص مطلق τ_abs عند النقطة (مع مراعاة كل المستويات في ثلاثة أبعاد).

σ_x = −80 MPaσ_y = −80 MPaτ_xy = −10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

خزان أسطواني رقيق الجدار قطره الداخلي 1200 mm وسُمك جداره 8 mm يحتوي غازًا عند ضغط مقيس 1,5 MPa. وهو مصنوع من لوح ملحوم على طول درز حلزوني يميل بزاوية 55° عن محور الأسطوانة. أوجد الإجهاد العمودي σ_n المؤثّر عبر درز اللحام.

D = 1200 mmt = 8 mmp = 1,5 MPaα = 55°

σ_n = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

w = 2 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 3 kNw = 8 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 1,061 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 75·1000/706,9 = 106,1 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس الأصفر = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 106,1/100000 = 0,001061 = 1061 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,001061·1000 mm = 1,061 mm

الإجابة

δ = 1,061 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 728,8 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 60²)/4 = 8482 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·8482 = 9,111 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,0008, 0,001) = 0,0008 (الفولاذ)

أكبر حمل

P_max = 0,0008·9,111 × 10⁸ = 728849 N = 728,8 kN

الإجابة

P_max = 728,8 kN

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 9,237 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 200·1000·2500/(39000·79522) = 0,1612 rad

φ = 0,1612·180/π = 9,237°

الإجابة

φ = 9,237°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 40 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 30000/78,54 = 382 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 381972·20/190984 = 40 MPa

الإجابة

τ_max = 40 MPa

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 61,88 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 5·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

اقطع عند x = 4,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 25·4,5 − 5·4,5·2,25 = 61,88 kN·m

الإجابة

M_x = 61,88 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 7,111 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 2·8·4

R_B = 64/6 = 10,67 kN

ΣF_y = 0: R_A = 16 − 10,67 = 5,333 kN

انعدام القص

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 5,333/2 = 2,667 m

أقصى عزم موجب

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 5,333²/(2·2) = 7,111 kN·m

الإجابة

M_max = 7,111 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: ȳ = 41,45 mm

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلات

خذ القاعدة بكامل عرضها والساقين فوقها (بارتفاع h − t)، حتى لا يُحسب شيء مرتين.

القاعدة: A₁ = 260·14 = 3640 mm², y₁ = 7 mm

الساقان: A₂ = 2·14·126 = 3528 mm², y₂ = 14 + 126/2 = 77 mm

المركز

ȳ = (3640·7 + 3528·77)/7168 = 41,45 mm

الإجابة

ȳ = 41,45 mm

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_j = 62,43 MPa

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

عرض الفراغين معًا (B − t_w) وارتفاعهما h_w = H − 2t_f، ويشتركان في المحور x.

h_w = 280 − 2·20 = 240 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (210·280³ − 200·240³)/12

I_x = 1,538 × 10⁸ mm⁴

إجهاد الانحناء

y = 140 − 20 = 120 mm

σ = M·y/I = 8 × 10⁷·120/1,538 × 10⁸ = 62,43 MPa

الإجابة

σ_j = 62,43 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_abs = 45 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. في ثلاثة أبعاد، أقصى إجهاد قص مطلق هو (σ_max − σ_min)/2 على الإجهادات الرئيسية الثلاثة؛ وفي الإجهاد المستوي يكون الثالث صفرًا.

الإجهادان الرئيسيان في المستوى

C = −80 MPa, R = √(0² + (−10)²) = 10 MPa

σ₁ = −70 MPa, σ₂ = −90 MPa, σ_z = 0

أكبر الدوائر الثلاث

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(20, 70, 90)/2 = 45 MPa

الإجابة

τ_abs = 45 MPa

هنا تحكم الدائرة خارج المستوى: الحد الأقصى المطلق أكبر من الحد الأقصى في المستوى R.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_n = 74,76 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. الأسطوانة الرقيقة الجدار: الإجهاد المحيطي σ_h = pr/t والإجهاد المحوري σ_a = pr/(2t)؛ وهما الإجهادان الرئيسيان في الجدار.

إجهادات الجدار

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 1,5·600/8 = 112,5 MPa

σ_a = pr/(2t) = 56,25 MPa

التحويل إلى الدرز

خذ x على امتداد المحور (σ_a) و y على امتداد المحيط (σ_h). العمودي على الدرز يصنع 90° − α مع المحور.

σ_n = 56,25·sin²55° + 112,5·cos²55° = 74,76 MPa

الإجابة

σ_n = 74,76 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 65,1 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 5000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δ = wL⁴/(8EI) = 2·5000⁴/(8·2,4 × 10¹²) = 65,1 mm

الإجابة

δ = 65,1 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 3,822 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 3000 N, w = 8 N/mm, L = 2500 mm, EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(48EI) = 3000·2500³/(48·1,32 × 10¹²) = 0,7398 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·2500⁴/(384·1,32 × 10¹²) = 3,083 mm

اجمعها

δ_max = 0,7398 + 3,083 = 3,822 mm

الإجابة

δ_max = 3,822 mm

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 13,43 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/2800² = 13428 N = 13,43 kN

الإجابة

P_cr = 13,43 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 4,819 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 1·4000 = 4000 mm

KL/r = 4000/6,25 = 640

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/640² = 4,819 MPa

الإجابة

σ_cr = 4,819 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials