مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب النحاس، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 80 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 40 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 160 MPa) داخل أنبوب من البرونز (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 50 mm وE = 110 GPa والإجهاد المسموح 100 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø40 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 160 MPaالأنبوب: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 100 MPa

P_max = kN

3.التواء الأعمدةمتوسطة

يجب أن يحمل عمود مجوّف عزم التواء 1000 N·m. يُراد أن يكون قطره الداخلي 0,8 مرة من قطره الخارجي، ويجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 50 MPa. أوجد أصغر قطر خارجي d_o.

T = 1000 N·md_i/d_o = 0,8τ_allow = 50 MPa

d_o = mm

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مجوّف 20 kW بسرعة 1000 rpm. يُراد أن يكون قطره الداخلي 0,7 مرة من قطره الخارجي، ويجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 75 MPa. أوجد أصغر قطر خارجي d_o.

P = 20 kWN = 1000 rpmd_i/d_o = 0,7τ_allow = 75 MPa

d_o = mm

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل ازدواجًا باتجاه عقارب الساعة M₀ = 30 kN·m عند x = 7 m من A، ولا يوجد حمل آخر. أوجد عزم الانحناء M_x يمين الازدواج مباشرةً. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 8 mM₀ = 30 kN·m باتجاه عقارب الساعة، عند 7 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

40 kN @ 0 m50 kN @ 6 m15 kN @ 4 m5 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 120 mm × 240 mm فيه ثقب دائري قطره 50 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 156 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 120 mmh = 240 mmd = 50 mmمركز الثقب: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 20 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σ_الأسفل عند الحافة السفلية.

b_f = 220 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mmM = 20 kN·m

σ_الأسفل = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 120 MPa و σᵧ = 100 MPa و τₓᵧ = −20 MPa (الشدّ موجب). أوجد الزاوية θ_p من المحور x إلى اتجاه أكبر إجهاد رئيسي، بين −90° و 90°.

σ_x = 120 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = −20 MPa

θ_p = °

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −70 MPa و σᵧ = 110 MPa و τₓᵧ = 10 MPa (الشدّ موجب). أوجد إجهاد القص τ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 15° عكس عقارب الساعة من المحور x (موجب في الاتجاه نفسه لـ τₓᵧ).

σ_x = −70 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 15°

τ_θ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δ_max عند منتصف البحر.

w = 12 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي I_req يحقّق هذا الحد.

w = 5 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (الفولاذ)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 1,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 967,3 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 80·1000/706,9 = 113,2 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 113,2/117000 = 0,0009673 = 967,3 µε

الإجابة

ε = 967,3 µε

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 719,4 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·1257 + 110·10³·5890 = 8,993 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,0008, 0,0009091) = 0,0008 (الفولاذ)

أكبر حمل

P_max = 0,0008·8,993 × 10⁸ = 719425 N = 719,4 kN

الإجابة

P_max = 719,4 kN

3.التواء الأعمدة

الإجابة: d_o = 55,67 mm

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

القطر الخارجي من الإجهاد المسموح

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,8⁴ = 0,5904

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·1 × 10⁶/(π·50·0,5904)) = 55,67 mm

d_i = 0,8·55,67 = 44,54 mm

الإجابة

d_o = 55,67 mm

العمود المصمت يحتاج إلى d = 46,7 mm؛ والمجوّف أكبر قليلًا لكنه أخفّ بكثير.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d_o = 25,75 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s

T = P/ω = 20000/104,7 = 191 N·m

القطر الخارجي من الإجهاد المسموح

T = 191 N·m = 190986 N·mm

1 − k⁴ = 1 − 0,7⁴ = 0,7599

d_o = ∛(16T/(π·τ_allow·(1 − k⁴))) = ∛(16·190986/(π·75·0,7599)) = 25,75 mm

d_i = 0,7·25,75 = 18,02 mm

الإجابة

d_o = 25,75 mm

العمود المصمت يحتاج إلى d = 23,49 mm؛ والمجوّف أكبر قليلًا لكنه أخفّ بكثير.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 3,75 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. الازدواج المؤثّر يجعل مخطط عزم الانحناء يقفز بمقدار الازدواج.

ردود أفعال الركائز

العزوم حول A، عكس عقارب الساعة موجب: R_B·L − M₀ = 0. الاتزان الرأسي: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 30/8 = 3,75 kN (إلى الأعلى)

R_A = −R_B = −3,75 kN (إلى الأسفل)

اقطع يمين الازدواج مباشرةً

يحتوي الجزء الأيسر الآن على R_A والازدواج.

M_x = R_A·a + M₀ = −3,75·7 + 30 = 3,75 kN·m

الإجابة

M_x = 3,75 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: F (x = 5 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 51,25 kN, R₂ = 73,75 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = −40, M_C = −31,25, M_D = −27,5, M_E = −28,75, M_F = −50 kN·m, M_G = 0

الإجابة

علامة F: M_F = −50 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 135,2 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (28800·120 − 1963·156)/(28800 − 1963) = 117,4 mm

اللوح الكامل حول ȳ

120·240³/12 + 28800·2,634² = 138,4 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·50⁴/64 + 1963·38,63² = 3,237 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 135,2 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 135,2 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأسفل = 145,3 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 220·10 = 2200 mm², y_f = 200 + 10/2 = 205 mm

الجذع: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2200·205 + 2400·100)/4600 = 150,2 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 220·10³/12 + 2200·(205 − 150,2)² = 6,621 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 12·200³/12 + 2400·(100 − 150,2)² = 1,405 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,621 × 10⁶ + 1,405 × 10⁷ = 2,067 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة السفلية ȳ عن المحور.

y = 150,2 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·150,2/2,067 × 10⁷ = 145,3 MPa

الإجابة

σ_الأسفل = 145,3 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_p = −31,72 °

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

الزاوية على الدائرة

تقع النقطة x على دائرة مور بزاوية 2θp من المحور σ؛ ويُحدَّد الربع من إشارتي σₓ − σᵧ و τₓᵧ.

2θ_p = atan2(2·−20, 120 − 100) = −63,43°

الزاوية على العنصر

θ_p = −31,72°

الإجابة

θ_p = −31,72°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_θ = 53,66 MPa

معادلة التحويل

τ_θ = −−90·0,5 + 10·0,866 = 53,66 MPa

الإجابة

τ_θ = 53,66 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 1,038 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2500 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·5,88 × 10¹²) = 1,038 mm

الإجابة

δ_max = 1,038 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: I_req = 60 × 10⁶ mm⁴

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·8000⁴/(384·200000·22,22) = 6 × 10⁷ mm⁴

I_req = 60 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_req = 60 × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 52,64 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·4000 = 4000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·426667/4000² = 52638 N = 52,64 kN

الإجابة

P_cr = 52,64 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 17,27 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/15 = 200

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

الإجابة

σ_cr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials