مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب النحاس، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 115 kNd = 10 mmL = 0,5 mE = 117 GPa

ε = µε

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

مقطع الفولاذ (القطر 30 mm والطول 600 mm وE = 200 GPa) ومقطع من النحاس الأصفر (القطر 50 mm والطول 200 mm وE = 100 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 20 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ₂ في المقطع 2.

المقطع 1: الفولاذ, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس الأصفر, Ø50 mm, 200 mm, E = 100 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من النحاس الأصفر مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 500 N·md = 30 mmL = 2,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الفولاذ ينقل 20 kW بسرعة 1450 rpm. يجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 80 MPa وألّا يتجاوز الالتواء 0,5° لكل m من الطول. أوجد أصغر قطر d يحقّق الحدّين كليهما.

P = 20 kWN = 1450 rpmτ_allow = 80 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 4 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mw = 10 kN/m من 0 إلى 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

55 kN @ 0 m50 kN @ 6 m45 kN @ 3 m12 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 200 mmt_f = 25 mmt_w = 18 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

كمرة من الحديد الزهر لها مقطع T الموضّح، والشفة في الأعلى. الإجهادات المسموحة 50 MPa في الشد و 90 MPa في الضغط. أوجد أكبر عزم انحناء سالب (تحدّب) M_allow يمكن أن تتحمّله الكمرة (أعطِ مقداره).

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 280 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −40 MPa و σᵧ = 50 MPa و τₓᵧ = −40 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = −40 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = −40 MPa

τ_max = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 70 MPa و σᵧ = −60 MPa و τₓᵧ = 40 MPa (الشدّ موجب). أوجد إجهاد القص τ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 30° عكس عقارب الساعة من المحور x (موجب في الاتجاه نفسه لـ τₓᵧ).

σ_x = 70 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 40 MPaθ = 30°

τ_θ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δ_max عند منتصف البحر.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 21 kNw = 8 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 50 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. يجب أن يحمل 105 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 105 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 12515 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 115·1000/78,54 = 1464 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 1464/117000 = 0,01251 = 12515 µε

الإجابة

ε = 12515 µε

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ₂ = 8,214 MPa

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

الصلابات

k₁ = 200000·706,9/600 = 235619 N/mm

k₂ = 100000·1963/200 = 981748 N/mm

حصة المقطع 2

F₂ = 20000·981748/1,217 × 10⁶ = 16129 N

الإجهاد

σ₂ = 16129/1963 = 8,214 MPa (ضغط)

الإجابة

σ₂ = 8,214 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 23,09 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 500·1000·2500/(39000·79522) = 0,4031 rad

φ = 0,4031·180/π = 23,09°

الإجابة

φ = 23,09°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 37,23 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 20000/151,8 = 131,7 N·m

القطر وفق المقاومة

T = 131,7 N·m = 131714 N·mm

d_τ = ∛(16·131714/(π·80)) = 20,32 mm

القطر وفق الجساءة

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·131714/(π·80000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 37,23 mm

القطر الحاكم

يجب تحقيق الحدّين كليهما، لذا يحكم القطر الأكبر.

d = max(20,32, 37,23) = 37,23 mm

الإجابة

d = 37,23 mm

هنا تحكم الجساءة.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 20 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·5·2,5

R_B = 125/5 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

اقطع عند x = 4 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 25·4 − 10·4·2 = 20 kN·m

الإجابة

M_x = 20 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 4 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 73 kN, R₂ = 113 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = −55, M_C = −43, M_D = −43, M_E = −100 kN·m, M_F = −50, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = −100 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 75,71 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 200·25 = 5000 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

الجذع: A_w = 18·260 = 4680 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5000·272,5 + 4680·130)/9680 = 203,6 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 200·25³/12 + 5000·(272,5 − 203,6)² = 2,399 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 18·260³/12 + 4680·(130 − 203,6)² = 5,172 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,399 × 10⁷ + 5,172 × 10⁷ = 7,571 × 10⁷ mm⁴ = 75,71 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 75,71 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: M_allow = 15,67 kN·m

المركز

ȳ = (1800·285 + 2240·140)/4040 = 204,6 mm

الحافة العلوية: c = 290 − 204,6 = 85,4 mm

عزم القصور الذاتي للمساحة

I = 180·10³/12 + 1800·80,4² + 8·280³/12 + 2240·64,6² = 3,563 × 10⁷ mm⁴

العزم المسموح من كل حافة

التحدّب: الأعلى في شد، والأسفل في ضغط.

الحافة العلوية: M = 50·3,563 × 10⁷/85,4 = 20,86 kN·m

الحافة السفلية: M = 90·3,563 × 10⁷/204,6 = 15,67 kN·m

القيمة الحاكمة

M_allow = min = 15,67 kN·m (الحافة السفلية)

الإجابة

M_allow = 15,67 kN·m

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 60,21 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((−40 − 50)/2)² + −40²) = 60,21 MPa

الإجابة

τ_max = 60,21 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_θ = −36,29 MPa

معادلة التحويل

τ_θ = −65·0,866 + 40·0,5 = −36,29 MPa

الإجابة

τ_θ = −36,29 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 1,776 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2000 mm

EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·1,76 × 10¹²) = 1,776 mm

الإجابة

δ_max = 1,776 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 11,88 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 21000 N, w = 8 N/mm, L = 4000 mm, EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(48EI) = 21000·4000³/(48·4,6 × 10¹²) = 6,087 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·4,6 × 10¹²) = 5,797 mm

اجمعها

δ_max = 6,087 + 5,797 = 11,88 mm

الإجابة

δ_max = 11,88 mm

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 23,55 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·3000 = 3000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/3000² = 23551 N = 23,55 kN

الإجابة

P_cr = 23,55 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 41,57 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2,5·105000 = 262500 N

KL = 0,7·1500 = 1050 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·262500·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 41,57 mm

الإجابة

d = 41,57 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 101، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials