مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب الألومنيوم تحت الحمل المحوري.

P = 25 kNd = 25 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 10 kNالجزء 1: Ø30 mm، 2 m، الفولاذ (E = 200 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 0,5 m، الفولاذ (E = 200 GPa)

σ_max = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من النحاس الأصفر مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 250 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 15 kW عند 3000 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 15 kWN = 3000 rpmd_o = 50 mmd_i = 40 mm

τ_max = MPa

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل ازدواجًا باتجاه عقارب الساعة M₀ = 30 kN·m عند x = 1,5 m من A، ولا يوجد حمل آخر. أوجد عزم الانحناء M_x يسار الازدواج مباشرةً. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 4 mM₀ = 30 kN·m باتجاه عقارب الساعة، عند 1,5 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

30 kN @ 0 m10 kN @ 6 m45 kN @ 2 m6 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 200 mmt_f = 15 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

مقطع I ملحوم له شفة علوية 130 × 20 mm، وجذع ارتفاعه 250 mm وسُمكه 16 mm، وشفة سفلية 250 × 24 mm (العرض × السُمك). أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

الشفة العلوية: 130 × 20 mmالجذع: 16 × 250 mmالشفة السفلية: 250 × 24 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 70 MPa و σᵧ = 10 MPa و τₓᵧ = −50 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = 70 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = −50 MPa، σᵧ = 30 MPa و τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). أوجد الإجهاد المكافئ وفق فون ميزس σ_vM.

σ_x = −50 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = 50 MPa

σ_vM = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي طوله L مثبَّت عند A ويحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 3 m من A. أوجد الترخيم δ_P تحت الحمل.

P = 7 kNa = 3 mL = 6 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة خشبية بسيطة الارتكاز ذات مقطع مستطيل عرضه 150 mm تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. لا يجوز أن يتجاوز ترخيم منتصفها البحر/300. أوجد أصغر عمق h_req للمقطع.

w = 2,5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)b = 150 mm

h_req = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 60 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,3638 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 25·1000/490,9 = 50,93 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الألومنيوم = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 50,93/70000 = 0,0007276 = 727,6 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,0007276·500 mm = 0,3638 mm

الإجابة

δ = 0,3638 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 31,83 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·30²/4 = 706,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 14,15 MPa

σ₂ = 31,83 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 31,83 MPa

الإجابة

σ_max = 31,83 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 4,789 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 250·1000·500/(39000·38350) = 0,08358 rad

φ = 0,08358·180/π = 4,789°

الإجابة

φ = 4,789°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 3,295 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 15000/314,2 = 47,75 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(50⁴ − 40⁴)/32 = 362265 mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 47746·25/362265 = 3,295 MPa

الإجابة

τ_max = 3,295 MPa

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = −11,25 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. الازدواج المؤثّر يجعل مخطط عزم الانحناء يقفز بمقدار الازدواج.

ردود أفعال الركائز

العزوم حول A، عكس عقارب الساعة موجب: R_B·L − M₀ = 0. الاتزان الرأسي: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 30/4 = 7,5 kN (إلى الأعلى)

R_A = −R_B = −7,5 kN (إلى الأسفل)

اقطع يسار الازدواج مباشرةً

يحتوي الجزء الأيسر على R_A فقط.

M_x = R_A·a = −7,5·1,5 = −11,25 kN·m

الإجابة

M_x = −11,25 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: B (x = 1 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 80,75 kN, R₂ = 28,25 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = −30 kN·m, M_C = 17,75, M_D = 14,5, M_E = 5,25, M_F = −10, M_G = 0

الإجابة

علامة B: M_B = −30 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 20,59 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 200·15 = 3000 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207,5 mm

الجذع: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·207,5 + 2000·100)/5000 = 164,5 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 200·15³/12 + 3000·(207,5 − 164,5)² = 5,603 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 10·200³/12 + 2000·(100 − 164,5)² = 1,499 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,603 × 10⁶ + 1,499 × 10⁷ = 2,059 × 10⁷ mm⁴ = 20,59 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 20,59 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 163,6 × 10⁶ mm⁴

قسّم إلى ثلاثة مستطيلات

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة العلوية: A = 2600 mm², y = 284 mm

الجذع: A = 4000 mm², y = 149 mm

الشفة السفلية: A = 6000 mm², y = 12 mm

المركز

ȳ = (2600·284 + 4000·149 + 6000·12)/12600 = 111,6 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة العلوية: 130·20³/12 + 2600·172,4² = 7,735 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 16·250³/12 + 4000·37,38² = 2,642 × 10⁷ mm⁴

الشفة السفلية: 250·24³/12 + 6000·99,62² = 5,983 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,735 × 10⁷ + 2,642 × 10⁷ + 5,983 × 10⁷

I_x = 1,636 × 10⁸ mm⁴ = 163,6 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 163,6 × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 58,31 MPa

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((70 − 10)/2)² + −50²) = 58,31 MPa

الإجابة

τ_max = 58,31 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_vM = 111,4 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σ_Y؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σ_Y/2.

الإجهادات الرئيسية

C = −10 MPa, R = 64,03 MPa

σ₁ = 54,03 MPa, σ₂ = −74,03 MPa, σ₃ = 0

فون ميزس

σ_vM = √(54,03² − 54,03·(−74,03) + (−74,03)²) = 111,4 MPa

الإجابة

σ_vM = 111,4 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_P = 68,18 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 7000 N, a = 3000 mm, L = 6000 mm

EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

الترخيم تحت الحمل

δ_P = Pa³/(3EI) = 7000·3000³/(3·9,24 × 10¹¹) = 68,18 mm

الإجابة

δ_P = 68,18 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: h_req = 248,5 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

حدّ الترخيم

δ_allow = L/300 = 6000/300 = 20 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·6000⁴/(384·11000·20) = 1,918 × 10⁸ mm⁴

العمق المطلوب

bh³/12 = I_req → h = (12·1,918 × 10⁸/150)^1/3 = 248,5 mm

الإجابة

h_req = 248,5 mm

عمليًا، اختر العمق القياسي التالي الأكبر من هذه القيمة.

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 27,47 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·2000 = 4000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/4000² = 27470 N = 27,47 kN

الإجابة

P_cr = 27,47 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 126,3 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/10 = 125

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/125² = 126,3 MPa

الإجابة

σ_cr = 126,3 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials