مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب من الفولاذ (القطر 25 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من النحاس (القطر الخارجي 80 mm والقطر الداخلي 50 mm وE = 120 GPa). طول كل منهما 500 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 80 kN. أوجد الانضغاط δ.

P = 80 kNالقضيب: Ø25 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø80/Ø50 mm, E = 120 GPaL = 500 mm

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

مقطع الفولاذ (القطر 40 mm والطول 400 mm وE = 200 GPa) ومقطع من البرونز (القطر 50 mm والطول 400 mm وE = 110 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 20 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ₂ في المقطع 2.

المقطع 1: الفولاذ, Ø40 mm, 400 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: البرونز, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaP = 20 kN

σ₂ = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

في اختبار التواء، تُلوى عيّنة مصمتة قطرها 10 mm بعزم 20 N·m. يدور طرفا طول قياس مقداره 200 mm بزاوية 2,92° أحدهما بالنسبة إلى الآخر (المادة لا تزال مرنة). أوجد معامل القص G للمادة.

T = 20 N·md = 10 mmL = 200 mmφ = 2,92°

G = GPa

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مصمت 10 kW عند 1800 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 40 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.

P = 10 kWN = 1800 rpmτ_allow = 40 MPa

d = mm

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

10 kN @ 2 m50 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 5,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 8 mP = 35 kN عند 6 mw = 10 kN/m من 0 إلى 8 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أنبوب دائري قطره الخارجي D = 250 mm وقطره الداخلي d = 238 mm. أوجد نصف قطر الدوران r حول المحور المركزي الأفقي.

D = 250 mmd = 238 mm

r = mm

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 5 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_الأعلى عند الحافة العلوية.

b_f = 280 mmt_f = 15 mmt_w = 18 mmh_w = 240 mmM = 5 kN·m

σ_الأعلى = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 80 MPa و σᵧ = 110 MPa و τₓᵧ = −50 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = 80 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −50 MPa

τ_max = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = −80 MPa، σᵧ = 70 MPa و τₓᵧ = 50 MPa (σ_z = 0). إجهاد خضوع المادة 275 MPa. أوجد معامل الأمان n ضد الخضوع وفق معيار تريسكا (أقصى إجهاد قص).

σ_x = −80 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 50 MPaσ_Y = 275 MPa

n =

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 1 m من الركيزة A. أوجد الترخيم δ_P تحت الحمل.

P = 6 kNa = 1 mL = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد b = 1 m من الركيزة B. أوجد أقصى ترخيم δ_max للكمرة.

P = 18 kNb = 1 mL = 4 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,08588 mm

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·25²/4 = 490,9 mm²

A_t = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·490,9 + 120·10³·3063 = 4,657 × 10⁸ N

الانضغاط

δ = 80000·500/4,657 × 10⁸ = 0,08588 mm

الإجابة

δ = 0,08588 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ₂ = 4,708 MPa

الصلابات

k₁ = 200000·1257/400 = 628319 N/mm

k₂ = 110000·1963/400 = 539961 N/mm

حصة المقطع 2

F₂ = 20000·539961/1,168 × 10⁶ = 9244 N

الإجهاد

σ₂ = 9244/1963 = 4,708 MPa (ضغط)

الإجابة

σ₂ = 4,708 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: G = 79,95 GPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي والزاوية

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 2,92·π/180 = 0,05096 rad

معامل القص

T = 20 N·m = 20000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 20000·200/(981,7·0,05096) = 79947 MPa

G = 79,95 GPa

الإجابة

G = 79,95 GPa

للمقارنة: الفولاذ ≈ 80 GPa، النحاس الأصفر ≈ 39 GPa، الألومنيوم ≈ 26 GPa.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 18,9 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 10000/188,5 = 53,05 N·m

القطر من الإجهاد المسموح

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·53052/(π·40)) = 18,9 mm

الإجابة

d = 18,9 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: F (x = 10 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 16,67 kN, R₂ = 43,33 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 33,33, M_C = 46,67, M_D = 60, M_E = 73,33, M_F = 86,67 kN·m, M_G = 0

الإجابة

علامة F: M_F = 86,67 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 116,9 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·8 = 80 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·6 + 10·8·4

R_B = 530/8 = 66,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 66,25 = 48,75 kN

اقطع عند x = 5,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 48,75·5,5 − 10·5,5·2,75 = 116,9 kN·m

الإجابة

M_x = 116,9 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: r = 86,29 mm

عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = I_c + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد. نصف قطر الدوران r = √(I/A) هو المسافة التي لو تركّزت عندها المساحة كلها لأعطت I نفسه؛ ويُستخدم في انبعاج الأعمدة.

المساحة الصافية وعزم القصور الذاتي

A = π(D² − d²)/4 = 4599 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 3,425 × 10⁷ mm⁴

نصف قطر الدوران

r = √(I/A) = √(3,425 × 10⁷/4599) = 86,29 mm

الإجابة

r = 86,29 mm

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأعلى = 6,508 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 280·15 = 4200 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

الجذع: A_w = 18·240 = 4320 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·247,5 + 4320·120)/8520 = 182,9 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 280·15³/12 + 4200·(247,5 − 182,9)² = 1,763 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 18·240³/12 + 4320·(120 − 182,9)² = 3,78 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,763 × 10⁷ + 3,78 × 10⁷ = 5,543 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 255 − 182,9 = 72,15 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·72,15/5,543 × 10⁷ = 6,508 MPa

الإجابة

σ_الأعلى = 6,508 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 52,2 MPa

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((80 − 110)/2)² + −50²) = 52,2 MPa

الإجابة

τ_max = 52,2 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: n = 1,525

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σ_Y؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σ_Y/2.

الإجهادات الرئيسية

C = −5 MPa, R = 90,14 MPa

σ₁ = 85,14 MPa, σ₂ = −95,14 MPa, σ₃ = 0

تريسكا

σ_max − σ_min = 180,3 MPa

n = 275/180,3 = 1,525

الإجابة

n = 1,525

n > 1 يعني أن النقطة لا تخضع؛ وتريسكا أكثر تحفّظًا قليلًا من فون ميزس.

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_P = 7,563 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 6000 N, a = 1000 mm, b = 3000 mm, L = 4000 mm

EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

الترخيم تحت الحمل

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 6000·1000²·3000²/(3·5,95 × 10¹¹·4000) = 7,563 mm

الإجابة

δ_P = 7,563 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 42,35 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 18000 N, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

موضع الحد الأقصى

جعل الميل في الجزء الأطول صفرًا يعطي الموضع.

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1000²)/3) = 2236 mm

أقصى ترخيم

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 42,35 mm

الإجابة

δ_max = 42,35 mm

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 6,909 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/2000² = 6909 N = 6,909 kN

الإجابة

P_cr = 6,909 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 12,69 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

KL/r = 3500/15 = 233,3

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/233,3² = 12,69 MPa

الإجابة

σ_cr = 12,69 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials