مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب الفولاذ تحت الحمل المحوري.

P = 105 kNd = 12 mmL = 1 mE = 200 GPa

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 20 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 150 MPa) داخل أنبوب من الألومنيوم (القطر الخارجي 120 mm والقطر الداخلي 70 mm وE = 70 GPa والإجهاد المسموح 70 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø20 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 150 MPaالأنبوب: Ø120/Ø70 mm, E = 70 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من النحاس الأصفر مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 100 N·md = 30 mmL = 3 mG = 39 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الفولاذ قطره 60 mm مثبَّت عند A. يؤثّر عزم التواء 250 N·m عند B على بعد 1,2 m من A، ويؤثّر عزم التواء 200 N·m في الاتجاه نفسه عند الطرف الحر C، على بعد 3 m إضافية. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

d = 60 mmT_B = 250 N·mT_C = 200 N·mAB = 1,2 mBC = 3 m

τ_max = MPa

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكابولي مثبَّت عند A. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P على بعد 4 m من A. أوجد عزم الانحناء M_A عند الركيزة المثبَّتة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 4 mP = 80 kN عند 4 mw = 3 kN/m من 0 إلى 4 m

M_A = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

15 kN @ 0 m10 kN @ 6 m50 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 180 mmt_f = 10 mmt_w = 8 mmh_w = 100 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 140 mm وسُمكها 10 mm، وعمق كلي 320 mm، وجذع سُمكه 10 mm. يحمل عزم انحناء مقداره 50 kN·m حول المحور x. أوجد مقدار أقصى إجهاد انحناء σ_max في المقطع.

B = 140 mmH = 320 mmt_f = 10 mmt_w = 10 mmM = 50 kN·m

σ_max = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = 160 MPa، σᵧ = 60 MPa و τₓᵧ = 30 MPa، مع σ_z = 0. أوجد أقصى إجهاد قص مطلق τ_abs عند النقطة (مع مراعاة كل المستويات في ثلاثة أبعاد).

σ_x = 160 MPaσ_y = 60 MPaτ_xy = 30 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

خزان أسطواني رقيق الجدار قطره الداخلي 1000 mm وسُمك جداره 8 mm يحتوي غازًا عند ضغط مقيس 1,5 MPa. وهو مصنوع من لوح ملحوم على طول درز حلزوني يميل بزاوية 35° عن محور الأسطوانة. أوجد الإجهاد العمودي σ_n المؤثّر عبر درز اللحام.

D = 1000 mmt = 8 mmp = 1,5 MPaα = 35°

σ_n = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 1,5 m من الركيزة A. أوجد الترخيم δ_P تحت الحمل.

P = 12 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد b = 1 m من الركيزة B. أوجد أقصى ترخيم δ_max للكمرة.

P = 12 kNb = 1 mL = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. يجب أن يحمل 80 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 80 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 4,642 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 105·1000/113,1 = 928,4 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الفولاذ = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 928,4/200000 = 0,004642 = 4642 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,004642·1000 mm = 4,642 mm

الإجابة

δ = 4,642 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 438,8 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·314,2 + 70·10³·7461 = 5,851 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,00075, 0,001) = 0,00075 (الفولاذ)

أكبر حمل

P_max = 0,00075·5,851 × 10⁸ = 438841 N = 438,8 kN

الإجابة

P_max = 438,8 kN

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 5,542 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 100·1000·3000/(39000·79522) = 0,09673 rad

φ = 0,09673·180/π = 5,542°

الإجابة

φ = 5,542°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 10,61 MPa

عزوم الالتواء الداخلية

اتجاه T_C مأخوذ موجبًا.

T_BC = T_C = 200 N·m

T_AB = T_C + T_B = 200 + 250 = 450 N·m

أقصى إجهاد قص

الجزء ذو أكبر عزم داخلي له أكبر إجهاد (القطر نفسه).

|T|_max = 450 N·m

τ_max = 16·450000/(π·60³) = 10,61 MPa

الإجابة

τ_max = 10,61 MPa

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_A = −344 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

احتفظ بجزء الطرف الحر

P: −80·4 = −320 kN·m

w: −3·4²/2 = −24 kN·m

M_A = −320 − 24 = −344 kN·m

الإجابة

M_A = −344 kN·m

الإشارة السالبة تعني التحدّب: شدّ على الوجه العلوي.

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 4 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 46,67 kN, R₂ = 28,33 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = −15, M_C = 16,67, M_D = −1,667, M_E = −20 kN·m, M_F = −10, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = −20 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 2,357 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 180·10 = 1800 mm², y_f = 100 + 10/2 = 105 mm

الجذع: A_w = 8·100 = 800 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·105 + 800·50)/2600 = 88,08 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 180·10³/12 + 1800·(105 − 88,08)² = 530503 mm⁴

الجذع: 8·100³/12 + 800·(50 − 88,08)² = 1,827 × 10⁶ mm⁴

I_x = 530503 + 1,827 × 10⁶ = 2,357 × 10⁶ mm⁴ = 2,357 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 2,357 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_max = 89,09 MPa

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

عرض الفراغين معًا (B − t_w) وارتفاعهما h_w = H − 2t_f، ويشتركان في المحور x.

h_w = 320 − 2·10 = 300 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (140·320³ − 130·300³)/12

I_x = 8,979 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

y = 160 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·160/8,979 × 10⁷ = 89,09 MPa

الإجابة

σ_max = 89,09 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_abs = 84,15 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. في ثلاثة أبعاد، أقصى إجهاد قص مطلق هو (σ_max − σ_min)/2 على الإجهادات الرئيسية الثلاثة؛ وفي الإجهاد المستوي يكون الثالث صفرًا.

الإجهادان الرئيسيان في المستوى

C = 110 MPa, R = √(50² + 30²) = 58,31 MPa

σ₁ = 168,3 MPa, σ₂ = 51,69 MPa, σ_z = 0

أكبر الدوائر الثلاث

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(116,6, 168,3, 51,69)/2 = 84,15 MPa

الإجابة

τ_abs = 84,15 MPa

هنا تحكم الدائرة خارج المستوى: الحد الأقصى المطلق أكبر من الحد الأقصى في المستوى R.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_n = 78,33 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. الأسطوانة الرقيقة الجدار: الإجهاد المحيطي σ_h = pr/t والإجهاد المحوري σ_a = pr/(2t)؛ وهما الإجهادان الرئيسيان في الجدار.

إجهادات الجدار

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 1,5·500/8 = 93,75 MPa

σ_a = pr/(2t) = 46,88 MPa

التحويل إلى الدرز

خذ x على امتداد المحور (σ_a) و y على امتداد المحيط (σ_h). العمودي على الدرز يصنع 90° − α مع المحور.

σ_n = 46,88·sin²35° + 93,75·cos²35° = 78,33 MPa

الإجابة

σ_n = 78,33 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_P = 3,057 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 12000 N, a = 1500 mm, b = 2500 mm, L = 4000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

الترخيم تحت الحمل

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 12000·1500²·2500²/(3·4,6 × 10¹²·4000) = 3,057 mm

الإجابة

δ_P = 3,057 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 3,079 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 12000 N, b = 1000 mm, L = 5000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

موضع الحد الأقصى

جعل الميل في الجزء الأطول صفرًا يعطي الموضع.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1000²)/3) = 2828 mm

أقصى ترخيم

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 3,079 mm

الإجابة

δ_max = 3,079 mm

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 280,7 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/1500² = 280735 N = 280,7 kN

الإجابة

P_cr = 280,7 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 40,08 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2·80000 = 160000 N

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·160000·1250²/(π³·200000))^(1/4) = 40,08 mm

الإجابة

d = 40,08 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 124,8، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials