مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي
σ = F/A
الانفعال
ε = ΔL/L
قانون هوك
σ = E·ε
الاستطالة
ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري
εT = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص
τ = T·r/J
عمود مصمت
J = πd⁴/32
عمود مجوّف
J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء
φ = TL/(GJ)
القدرة
P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

  1. أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
  2. إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
  3. زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
  4. إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز
C = (σx + σy)/2
نصف القطر
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
الإجهادات الرئيسية
σ1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
مستوى مائل
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

الطريقة

  1. احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
  2. احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
  4. الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر
δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز
δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي
δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم
δ = wL⁴/(8EI)
التراكب
δ = δ1 + δ2

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر
Pcr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال
K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج
σcr = Pcr/A
النحافة
λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة
P = ?12500 mm400 mmØ40Ø40δ = 0,4 mm

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 40 mm والطول 500 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من النحاس الأصفر (القطر 40 mm والطول 400 mm وE = 100 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,4 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø40 mm, 500 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس الأصفر, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm
P = kN
2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة
P = ?Ø20110 GPaØ80/50400 mm

قضيب من الفولاذ (القطر 20 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 200 MPa) داخل أنبوب من البرونز (القطر الخارجي 80 mm والقطر الداخلي 50 mm وE = 110 GPa والإجهاد المسموح 100 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل Pmax.

القضيب: Ø20 mm, E = 200 GPa, σallow = 200 MPaالأنبوب: Ø80/Ø50 mm, E = 110 GPa, σallow = 100 MPa
Pmax = kN
3.التواء الأعمدةمتوسطة
T = 100 N·md = 40 mmL = 1,5 mφ = ?

عمود مصمت من الفولاذ مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 100 N·md = 40 mmL = 1,5 mG = 80 GPa
φ = °
4.التواء الأعمدةصعبة
d = 40 mmT0​ = 500 N·mACBa = 1,5 mb = 1,2 m

عمود مصمت من الفولاذ قطره 40 mm مثبَّت في جدارين صلبين عند طرفيه A و B. يؤثّر عزم التواء 500 N·m عند C، على بعد 1,5 m من A و 1,2 m من B. أوجد أقصى إجهاد قص τmax في العمود.

d = 40 mmT0 = 500 N·ma = 1,5 mb = 1,2 m
τmax = MPa
5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
P1​ = 50 kNP2​ = 50 kNABC4 m4 m1,5 m

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1,5 m حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P1 بين الركيزتين وحملًا مركّزًا P2 عند C. أوجد عزم الانحناء Mx تحت الحمل P1. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 9,5 mP1 = 50 kN عند 4 mP2 = 50 kN عند 9,5 mركيزتان عند x = 0 و x = 8 m
Mx = kN·m
6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
40 kN50 kN45 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

40 kN @ 0 m50 kN @ 6 m45 kN @ 3 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
260102608xالأبعاد بالـ mm

أوجد عزم القصور الذاتي Ix لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

bf = 260 mmtf = 10 mmtw = 8 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
2401510020xM موجب (تقعّر)الأبعاد بالـ mm

كمرة من الحديد الزهر لها مقطع T الموضّح، والشفة في الأعلى. الإجهادات المسموحة 60 MPa في الشد و 120 MPa في الضغط. أوجد أكبر عزم انحناء موجب (تقعّر) Mallow يمكن أن تتحمّله الكمرة.

bf = 240 mmtf = 15 mmtw = 20 mmhw = 100 mmσt,allow = 60 MPaσc,allow = 120 MPa
Mallow = kN·m
9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة
σx​ = −10τxy​ = 10MPa

عند نقطة σₓ = −10 MPa، σᵧ = 0 MPa و τₓᵧ = 10 MPa (الشد موجب). أوجد الزاوية θs، بين −90° و 90°، من المحور x إلى العمودي على المستوى الذي يبلغ عليه إجهاد القص قيمته الموجبة القصوى +R (القص موجب في اتجاه τₓᵧ نفسه).

σx = −10 MPaσy = 0 MPaτxy = 10 MPa
θs = °
10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة
σx​ = 120σy​ = 10τxy​ = 30MPa

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 120 MPa و σᵧ = 10 MPa و τₓᵧ = 30 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σθ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 45° باتجاه عقارب الساعة من المحور x.

σx = 120 MPaσy = 10 MPaτxy = 30 MPaθ = -45°
σθ = MPa
11.ترخيم الكمرةمتوسطة
w = 4 kN/mABθ4 m

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد ميل الكمرة θA عند الركيزة A، بالراديان.

w = 4 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 84 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
12.ترخيم الكمرةصعبة
w = 4 kN/mδL = 5 m

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي Ireq يحقّق هذا الحد.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
13.انبعاج الأعمدةمتوسطة
PL = 4 md = 80 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 80 mm
Pcr = kN
14.انبعاج الأعمدةصعبة
P = 65 kNL = 1,5 md = ?المقطع العرضي

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. يجب أن يحمل 65 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 65 kNn = 2,5L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)
d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 77,33 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 1257 mm², A₂ = 1257 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·1257) = 1,989 × 10⁻⁶ mm/N
L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·1257) = 3,183 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,4/5,173 × 10⁻⁶ = 77332 N = 77,33 kN

الإجابة

P = 77,33 kN
2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: Pmax = 363,4 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

Ar = π·20²/4 = 314,2 mm²
At = π(80² − 50²)/4 = 3063 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·314,2 + 110·10³·3063 = 3,998 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,001, 0,0009091) = 0,0009091 (البرونز)

أكبر حمل

Pmax = 0,0009091·3,998 × 10⁸ = 363425 N = 363,4 kN

الإجابة

Pmax = 363,4 kN
3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 0,4274 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1500/(80000·251327) = 0,00746 rad
φ = 0,00746·180/π = 0,4274°

الإجابة

φ = 0,4274°
4.التواء الأعمدة

الإجابة: τmax = 22,1 MPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω. عندما يكون الطرفان مثبَّتين، يعطي علم السكون وحده TA + TB = T₀ فقط؛ والمعادلة الثانية هي التوافق (تساوي التواء الجزأين عند المقطع المحمَّل).

الاتزان والتوافق

TA + TB = 500
TA·a = TB·b
TA = 500·1,2/2,7 = 222,2 N·m
TB = 500·1,5/2,7 = 277,8 N·m

أقصى إجهاد قص

أكبر العزمين يحكم (القطر نفسه).

τmax = 16·277778/(π·40³) = 22,1 MPa

الإجابة

τmax = 22,1 MPa
5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mx = 62,5 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها. حمل الجزء البارز يؤثّر أيضًا بعزم حول A.

ΣMA = 0: RB·8 = 50·4 + 50·9,5
RB = 675/8 = 84,38 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 84,38 = 15,63 kN

اقطع تحت P1 واحتفظ بالجزء الأيسر

Mx = RA·4 = 15,63·4 = 62,5 kN·m

الإجابة

Mx = 62,5 kN·m
6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: F (x = 5 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 60 kN, R2 = 75 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = −40, MC = −20, MD = 0, ME = −25, MF = −50 kN·m, MG = 0

الإجابة

علامة F: MF = −50 kN·m
7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 32,8 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: Af = 260·10 = 2600 mm², yf = 260 + 10/2 = 265 mm
الجذع: Aw = 8·260 = 2080 mm², yw = 260/2 = 130 mm

المركز

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2600·265 + 2080·130)/4680 = 205 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 260·10³/12 + 2600·(265 − 205)² = 9,382 × 10⁶ mm⁴
الجذع: 8·260³/12 + 2080·(130 − 205)² = 2,342 × 10⁷ mm⁴
Ix = 9,382 × 10⁶ + 2,342 × 10⁷ = 3,28 × 10⁷ mm⁴ = 32,8 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 32,8 × 10⁶ mm⁴
8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Mallow = 4,129 kN·m

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

المركز

ȳ = (3600·107,5 + 2000·50)/5600 = 86,96 mm
الحافة العلوية: c = 115 − 86,96 = 28,04 mm

عزم القصور الذاتي للمساحة

I = 240·15³/12 + 3600·20,54² + 20·100³/12 + 2000·36,96² = 5,985 × 10⁶ mm⁴

العزم المسموح من كل حافة

التقعّر: الأعلى في ضغط، والأسفل في شد.

الحافة العلوية: M = 120·5,985 × 10⁶/28,04 = 25,62 kN·m
الحافة السفلية: M = 60·5,985 × 10⁶/86,96 = 4,129 kN·m

القيمة الحاكمة

Mallow = min = 4,129 kN·m (الحافة السفلية)

الإجابة

Mallow = 4,129 kN·m
9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θs = 13,28 °

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

στxyCτmax​

الزاوية على الدائرة

على دائرة مور تبعد نقطة القمة (+R) بـ 90° عن النقطة الرئيسية σ₁؛ وعلى العنصر يعادل ذلك 45°.

cos 2θs = 10/11,18 = 0,8944, sin 2θs = −(−5)/11,18 = 0,4472
2θs = atan2(5, 10) = 26,57°

الزاوية على العنصر

θs = 13,28°
تحقّق: θs − θp = 13,28 − 58,28 = −45°

الإجابة

θs = 13,28°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σθ = 35 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

معادلة التحويل

σθ = 65 + 55·0 + 30·−1 = 35 MPa

الإجابة

σθ = 35 MPa
11.ترخيم الكمرة

الإجابة: θA = 0,01154 rad

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). الميل θ = dv/dx هو التكامل الأول لـ M/(EI)؛ وبوحدات متّسقة يخرج بالراديان.

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 4000 mm
EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

ميل الطرف

θA = wL³/(24EI) = 4·4000³/(24·9,24 × 10¹¹) = 0,01154 rad

الإجابة

θA = 0,01154 rad

أي 0,6614°.

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: Ireq = 11,72 × 10⁶ mm⁴

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

حدّ الترخيم

δallow = L/360 = 5000/360 = 13,89 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·5000⁴/(384·200000·13,89) = 1,172 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 11,72 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ireq = 11,72 × 10⁶ mm⁴
13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: Pcr = 992,2 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·4000 = 2000 mm

الحمل الحرج

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2000² = 992201 N = 992,2 kN

الإجابة

Pcr = 992,2 kN
14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 31,17 mm

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

الحمل الحرج المطلوب

Pcr = n·P = 2,5·65000 = 162500 N
KL = 0,5·1500 = 750 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·750²/(π³·200000))^(1/4) = 31,17 mm

الإجابة

d = 31,17 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 96,26، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials