مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب النحاس الأصفر، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 115 kNd = 12 mmL = 1,5 mE = 100 GPa

ε = µε

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

مقطع الفولاذ (القطر 25 mm والطول 300 mm وE = 200 GPa) ومقطع من الألومنيوم (القطر 50 mm والطول 400 mm وE = 70 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 40 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ₂ في المقطع 2.

المقطع 1: الفولاذ, Ø25 mm, 300 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: الألومنيوم, Ø50 mm, 400 mm, E = 70 GPaP = 40 kN

σ₂ = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مجوّف من الألومنيوم (قطره الخارجي 60 mm، وقطره الداخلي 42 mm، وطوله 1,2 m) مثبَّت عند أحد طرفيه ويُلوى بعزم 250 N·m عند الطرف الآخر. أوجد زاوية الالتواء φ بالدرجات.

T = 250 N·md_o = 60 mmd_i = 42 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الألومنيوم ينقل 5 kW بسرعة 500 rpm. يجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 75 MPa وألّا يتجاوز الالتواء 1° لكل m من الطول. أوجد أصغر قطر d يحقّق الحدّين كليهما.

P = 5 kWN = 500 rpmτ_allow = 75 MPaθ_allow = 1°/mG = 26 GPa

d = mm

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

30 kN @ 4 m10 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

20 kN @ 0 m55 kN @ 12 m10 kN @ 8 m15 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 200 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 260 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 250 mm وسُمكها 24 mm، وعمق كلي 380 mm، وجذع سُمكه 10 mm. يحمل عزم انحناء مقداره 50 kN·m حول المحور x. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_j عند ملتقى الجذع والشفة العلوية.

B = 250 mmH = 380 mmt_f = 24 mmt_w = 10 mmM = 50 kN·m

σ_j = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = −10 MPa، σᵧ = 110 MPa و τₓᵧ = −50 MPa، مع σ_z = 0. أوجد أقصى إجهاد قص مطلق τ_abs عند النقطة (مع مراعاة كل المستويات في ثلاثة أبعاد).

σ_x = −10 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = −50 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 60 MPa و σᵧ = 100 MPa و τₓᵧ = 50 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 20° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = 60 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P عند طرفه الحر. باستخدام التراكب، أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

P = 14 kNw = 15 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد b = 1 m من الركيزة B. أوجد الترخيم δ_mid عند منتصف البحر.

P = 10 kNb = 1 mL = 8 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 40 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. يجب أن يحمل 10 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 10 kNn = 3L = 1 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 10168 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ = P/A = 115·1000/113,1 = 1017 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس الأصفر = 100 GPa = 100000 MPa.

ε = σ/E = 1017/100000 = 0,01017 = 10168 µε

الإجابة

ε = 10168 µε

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ₂ = 10,43 MPa

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

الصلابات

k₁ = 200000·490,9/300 = 327249 N/mm

k₂ = 70000·1963/400 = 343612 N/mm

حصة المقطع 2

F₂ = 40000·343612/670861 = 20488 N

الإجهاد

σ₂ = 20488/1963 = 10,43 MPa (ضغط)

الإجابة

σ₂ = 10,43 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 0,6838 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

زاوية الالتواء

T = 250 N·m = 250000 N·mm

L = 1,2 m = 1200 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = TL/(GJ) = 250000·1200/(26000·966855) = 0,01193 rad

φ = 0,01193·180/π = 0,6838°

الإجابة

φ = 0,6838°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 38,26 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 5000/52,36 = 95,49 N·m

القطر وفق المقاومة

T = 95,49 N·m = 95493 N·mm

d_τ = ∛(16·95493/(π·75)) = 18,65 mm

القطر وفق الجساءة

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

d_φ = (32·95493/(π·26000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 38,26 mm

القطر الحاكم

يجب تحقيق الحدّين كليهما، لذا يحكم القطر الأكبر.

d = max(18,65, 38,26) = 38,26 mm

الإجابة

d = 38,26 mm

هنا تحكم الجساءة.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: C (x = 4 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 21,67 kN, R₂ = 18,33 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 43,33, M_C = 86,67 kN·m, M_D = 70, M_E = 53,33, M_F = 36,67, M_G = 0

الإجابة

علامة C: M_C = 86,67 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: F (x = 10 m)

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 73,75 kN, R₂ = 131,3 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = −40, M_C = 37,5, M_D = 55, M_E = 12,5, M_F = −110 kN·m, M_G = 0

الإجابة

علامة F: M_F = −110 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 81,31 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 200·25 = 5000 mm², y_f = 260 + 25/2 = 272,5 mm

الجذع: A_w = 20·260 = 5200 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5000·272,5 + 5200·130)/10200 = 199,9 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 200·25³/12 + 5000·(272,5 − 199,9)² = 2,665 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 20·260³/12 + 5200·(130 − 199,9)² = 5,467 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,665 × 10⁷ + 5,467 × 10⁷ = 8,131 × 10⁷ mm⁴ = 81,31 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 81,31 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_j = 20,18 MPa

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

عرض الفراغين معًا (B − t_w) وارتفاعهما h_w = H − 2t_f، ويشتركان في المحور x.

h_w = 380 − 2·24 = 332 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (250·380³ − 240·332³)/12

I_x = 4,113 × 10⁸ mm⁴

إجهاد الانحناء

y = 190 − 24 = 166 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·166/4,113 × 10⁸ = 20,18 MPa

الإجابة

σ_j = 20,18 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_abs = 78,1 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. في ثلاثة أبعاد، أقصى إجهاد قص مطلق هو (σ_max − σ_min)/2 على الإجهادات الرئيسية الثلاثة؛ وفي الإجهاد المستوي يكون الثالث صفرًا.

الإجهادان الرئيسيان في المستوى

C = 50 MPa, R = √((−60)² + (−50)²) = 78,1 MPa

σ₁ = 128,1 MPa, σ₂ = −28,1 MPa, σ_z = 0

أكبر الدوائر الثلاث

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(156,2, 128,1, 28,1)/2 = 78,1 MPa

الإجابة

τ_abs = 78,1 MPa

هنا σ₁ و σ₂ مختلفا الإشارة، لذا الحد الأقصى في المستوى R هو أيضًا الحد الأقصى المطلق.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = 96,82 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 80 + −20·0,766 + 50·0,6428 = 96,82 MPa

الإجابة

σ_θ = 96,82 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 8,684 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 14000 N, w = 15 N/mm, L = 3000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(3EI) = 14000·3000³/(3·3,2 × 10¹³) = 3,938 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 15·3000⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 4,746 mm

اجمعها

δ = 3,938 + 4,746 = 8,684 mm

الإجابة

δ = 8,684 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_mid = 24,33 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 10000 N, b = 1000 mm, L = 8000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

ترخيم المنتصف

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 10000·1000·(3·8000² − 4·1000²)/(48·1,61 × 10¹²) = 24,33 mm

الإجابة

δ_mid = 24,33 mm

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 62,01 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·1000 = 2000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/2000² = 62013 N = 62,01 kN

الإجابة

P_cr = 62,01 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 33,36 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 3·10000 = 30000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 33,36 mm

الإجابة

d = 33,36 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 239,8، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials