مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 20 mm والطول 500 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من البرونز (القطر 40 mm والطول 500 mm وE = 110 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,3 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø20 mm, 500 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: البرونز, Ø40 mm, 500 mm, E = 110 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 25 kNالجزء 1: Ø25 mm، 1,5 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)الجزء 2: Ø12 mm، 1,5 m، النحاس الأصفر (E = 100 GPa)

δ = mm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الفولاذ مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 750 N·md = 30 mmL = 3 mG = 80 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من النحاس الأصفر قطره 25 mm مثبَّت في جدارين صلبين عند طرفيه A و B. يؤثّر عزم التواء 250 N·m عند C، على بعد 0,5 m من A و 3 m من B. أوجد زاوية دوران المقطع C φ_C بالدرجات.

d = 25 mmT₀ = 250 N·ma = 0,5 mb = 3 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

45 kN @ 4 m10 kN/m, 0–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

40 kN @ 0 m25 kN @ 12 m12 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع مجرى موضوع وجانبه المفتوح إلى الأعلى: لوح قاعدة عرضه 280 mm مع ساقين قائمتين، ارتفاعه الكلي 80 mm. سُمك القاعدة والساقين كلها 8 mm. أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b = 280 mmh = 80 mmt = 8 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 25 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_الأعلى عند الحافة العلوية.

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 100 mmM = 25 kN·m

σ_الأعلى = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 40 MPa و σᵧ = 0 MPa و τₓᵧ = −10 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = 40 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = −80 MPa، σᵧ = 90 MPa و τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). أوجد الإجهاد المكافئ وفق فون ميزس σ_vM.

σ_x = −80 MPaσ_y = 90 MPaτ_xy = 20 MPa

σ_vM = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي طوله L مثبَّت عند A ويحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 1,5 m من A. أوجد الترخيم δ_B عند الطرف الحر B.

P = 26 kNa = 1,5 mL = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 3 kNw = 4 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 45 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 45 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 25,92 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 500/(200000·314,2) = 7,958 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 500/(110000·1257) = 3,617 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,3/1,157 × 10⁻⁵ = 25918 N = 25,92 kN

الإجابة

P = 25,92 kN

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 4,08 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 50,93 MPa

σ₂ = 221 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 50,93·1500/100000 = 0,7639 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 221·1500/100000 = 3,316 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 4,08 mm

الإجابة

δ = 4,08 mm

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 20,26 °

عزم القصور القطبي

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 750·1000·3000/(80000·79522) = 0,3537 rad

φ = 0,3537·180/π = 20,26°

الإجابة

φ = 20,26°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: φ_C = 4,105 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω. عندما يكون الطرفان مثبَّتين، يعطي علم السكون وحده T_A + T_B = T₀ فقط؛ والمعادلة الثانية هي التوافق (تساوي التواء الجزأين عند المقطع المحمَّل).

الاتزان والتوافق

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·3/3,5 = 214,3 N·m

T_B = 250·0,5/3,5 = 35,71 N·m

دوران C

استخدم الجزء AC: إنه مثبَّت عند A ويحمل T_A.

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 214286·500/(39000·38350) = 0,07164 rad = 4,105°

الإجابة

φ_C = 4,105°

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 4 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 45 kN, R₂ = 60 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 40, M_C = 70, M_D = 90, M_E = 100 kN·m, M_F = 55, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = 100 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 8 m)

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 72,67 kN, R₂ = 64,33 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = −80, M_C = −38,67, M_D = −45,33, M_E = −100 kN·m, M_F = −50, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = −100 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 1,727 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلات

خذ القاعدة بكامل عرضها والساقين فوقها (بارتفاع h − t)، حتى لا يُحسب شيء مرتين.

القاعدة: A₁ = 280·8 = 2240 mm², y₁ = 4 mm

الساقان: A₂ = 2·8·72 = 1152 mm², y₂ = 8 + 72/2 = 44 mm

المركز

ȳ = (2240·4 + 1152·44)/3392 = 17,58 mm

نظرية المحور الموازي

القاعدة: 280·8³/12 + 2240·(4 − 17,58)² = 425338 mm⁴

الساقان: 2·8·72³/12 + 1152·(44 − 17,58)² = 1,301 × 10⁶ mm⁴

I_x = 425338 + 1,301 × 10⁶

I_x = 1,727 × 10⁶ mm⁴ = 1,727 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 1,727 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأعلى = 77,99 MPa

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 100 + 25/2 = 112,5 mm

الجذع: A_w = 20·100 = 2000 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·112,5 + 2000·50)/9500 = 99,34 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 300·25³/12 + 7500·(112,5 − 99,34)² = 1,689 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 20·100³/12 + 2000·(50 − 99,34)² = 6,536 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1,689 × 10⁶ + 6,536 × 10⁶ = 8,225 × 10⁶ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 125 − 99,34 = 25,66 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·25,66/8,225 × 10⁶ = 77,99 MPa

الإجابة

σ_الأعلى = 77,99 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 22,36 MPa

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((40 − 0)/2)² + −10²) = 22,36 MPa

الإجابة

τ_max = 22,36 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_vM = 151,3 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σ_Y؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σ_Y/2.

الإجهادات الرئيسية

C = 5 MPa, R = 87,32 MPa

σ₁ = 92,32 MPa, σ₂ = −82,32 MPa, σ₃ = 0

فون ميزس

σ_vM = √(92,32² − 92,32·(−82,32) + (−82,32)²) = 151,3 MPa

الإجابة

σ_vM = 151,3 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_B = 14,36 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 26000 N, a = 1500 mm, L = 6000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

الترخيم عند الطرف الحر

الترخيم عند الحمل زائد الميل عند الحمل مضروبًا في الطول المتبقي.

δ_P = Pa³/(3EI) = 2,612 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,002612 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 14,36 mm

الإجابة

δ_B = 14,36 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 1,443 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 3000 N, w = 4 N/mm, L = 2000 mm, EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(48EI) = 3000·2000³/(48·9,24 × 10¹¹) = 0,5411 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2000⁴/(384·9,24 × 10¹¹) = 0,9019 mm

اجمعها

δ_max = 0,5411 + 0,9019 = 1,443 mm

الإجابة

δ_max = 1,443 mm

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 7,285 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·65104/4200² = 7285 N = 7,285 kN

الإجابة

P_cr = 7,285 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 49,09 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2·45000 = 90000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 49,09 mm

الإجابة

d = 49,09 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 203,7، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials