مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب من الفولاذ (القطر 30 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من البرونز (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 50 mm وE = 110 GPa). طول كل منهما 600 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 250 kN. أوجد الانضغاط δ.

P = 250 kNالقضيب: Ø30 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø100/Ø50 mm, E = 110 GPaL = 600 mm

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

قضيب من الفولاذ (القطر 30 mm وE = 200 GPa والإجهاد المسموح 200 MPa) داخل أنبوب من البرونز (القطر الخارجي 100 mm والقطر الداخلي 60 mm وE = 110 GPa والإجهاد المسموح 70 MPa). يُضغطان معًا بين لوحين صلبين. أوجد أكبر حمل P_max.

القضيب: Ø30 mm, E = 200 GPa, σ_allow = 200 MPaالأنبوب: Ø100/Ø60 mm, E = 110 GPa, σ_allow = 70 MPa

P_max = kN

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الألومنيوم طوله 3 m يحمل عزم التواء 400 N·m. يجب ألّا تتجاوز زاوية الالتواء بين طرفيه 1,5°. أوجد أصغر قطر d يحقّق هذا الحد.

T = 400 N·mL = 3 mG = 26 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الفولاذ ينقل 15 kW بسرعة 500 rpm. يجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 50 MPa وألّا يتجاوز الالتواء 1° لكل m من الطول. أوجد أصغر قطر d يحقّق الحدّين كليهما.

P = 15 kWN = 500 rpmτ_allow = 50 MPaθ_allow = 1°/mG = 80 GPa

d = mm

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 8 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mw = 4 kN/m من 0 إلى 10 mx = 8 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

40 kN @ 0 m40 kN @ 12 m5 kN/m, 2–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 100 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

مقطع I ملحوم له شفة علوية 180 × 12 mm، وجذع ارتفاعه 330 mm وسُمكه 8 mm، وشفة سفلية 240 × 20 mm (العرض × السُمك). أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

الشفة العلوية: 180 × 12 mmالجذع: 8 × 330 mmالشفة السفلية: 240 × 20 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −70 MPa و σᵧ = 10 MPa و τₓᵧ = 50 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = −70 MPaσ_y = 10 MPaτ_xy = 50 MPa

τ_max = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 10 MPa و σᵧ = 30 MPa و τₓᵧ = −30 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 20° عكس عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = 10 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −30 MPaθ = 20°

σ_θ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 3,5 m من الركيزة A. أوجد الترخيم δ_P تحت الحمل.

P = 14 kNa = 3,5 mL = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 20 kNw = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 40 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 1 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,19 mm

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 50²)/4 = 5890 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·5890 = 7,893 × 10⁸ N

الانضغاط

δ = 250000·600/7,893 × 10⁸ = 0,19 mm

الإجابة

δ = 0,19 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P_max = 441,8 kN

المساحات

A_r = π·30²/4 = 706,9 mm²

A_t = π(100² − 60²)/4 = 5027 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·706,9 + 110·10³·5027 = 6,943 × 10⁸ N

الانفعال الحاكم

ε = min(0,001, 0,0006364) = 0,0006364 (البرونز)

أكبر حمل

P_max = 0,0006364·6,943 × 10⁸ = 441822 N = 441,8 kN

الإجابة

P_max = 441,8 kN

3.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 65,1 mm

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي المطلوب

T = 400 N·m = 400000 N·mm

L = 3 m = 3000 mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 400000·3000/(26000·0,02618) = 1,763 × 10⁶ mm⁴

القطر

d = (32J/π)^1/4 = 65,1 mm

الإجابة

d = 65,1 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 38,02 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·500/60 = 52,36 rad/s

T = P/ω = 15000/52,36 = 286,5 N·m

القطر وفق المقاومة

T = 286,5 N·m = 286479 N·mm

d_τ = ∛(16·286479/(π·50)) = 30,79 mm

القطر وفق الجساءة

θ = 1·π/180/1000 = 1,745 × 10⁻⁵ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·286479/(π·80000·1,745 × 10⁻⁵))^1/4 = 38,02 mm

القطر الحاكم

يجب تحقيق الحدّين كليهما، لذا يحكم القطر الأكبر.

d = max(30,79, 38,02) = 38,02 mm

الإجابة

d = 38,02 mm

هنا تحكم الجساءة.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 32 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 4·10·5

R_B = 200/10 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

اقطع عند x = 8 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 20·8 − 4·8·4 = 32 kN·m

الإجابة

M_x = 32 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 8 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 41,67 kN, R₂ = 68,33 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = −80, M_C = −86,67, M_D = −113,3, M_E = −160 kN·m, M_F = −80, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = −160 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 7,428 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 100·25 = 2500 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132,5 mm

الجذع: A_w = 14·120 = 1680 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2500·132,5 + 1680·60)/4180 = 103,4 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 100·25³/12 + 2500·(132,5 − 103,4)² = 2,253 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 14·120³/12 + 1680·(60 − 103,4)² = 5,175 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2,253 × 10⁶ + 5,175 × 10⁶ = 7,428 × 10⁶ mm⁴ = 7,428 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 7,428 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 211,2 × 10⁶ mm⁴

قسّم إلى ثلاثة مستطيلات

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة العلوية: A = 2160 mm², y = 356 mm

الجذع: A = 2640 mm², y = 185 mm

الشفة السفلية: A = 4800 mm², y = 10 mm

المركز

ȳ = (2160·356 + 2640·185 + 4800·10)/9600 = 136 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة العلوية: 180·12³/12 + 2160·220² = 1,046 × 10⁸ mm⁴

الجذع: 8·330³/12 + 2640·49,03² = 3,03 × 10⁷ mm⁴

الشفة السفلية: 240·20³/12 + 4800·126² = 7,633 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,046 × 10⁸ + 3,03 × 10⁷ + 7,633 × 10⁷

I_x = 2,112 × 10⁸ mm⁴ = 211,2 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 211,2 × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 64,03 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((−70 − 10)/2)² + 50²) = 64,03 MPa

الإجابة

τ_max = 64,03 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = −6,944 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 20 + −10·0,766 + −30·0,6428 = −6,944 MPa

الإجابة

σ_θ = −6,944 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_P = 10,13 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 14000 N, a = 3500 mm, b = 2500 mm, L = 6000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

الترخيم تحت الحمل

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 14000·3500²·2500²/(3·5,88 × 10¹²·6000) = 10,13 mm

الإجابة

δ_P = 10,13 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 2,899 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 20000 N, w = 5 N/mm, L = 5000 mm, EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(48EI) = 20000·5000³/(48·3,2 × 10¹³) = 1,628 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 1,272 mm

اجمعها

δ_max = 1,628 + 1,272 = 2,899 mm

الإجابة

δ_max = 2,899 mm

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 3,876 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·4000 = 8000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/8000² = 3876 N = 3,876 kN

الإجابة

P_cr = 3,876 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 55,08 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/6,25 = 112

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/112² = 55,08 MPa

الإجابة

σ_cr = 55,08 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials