مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب الألومنيوم تحت الحمل المحوري.

P = 105 kNd = 25 mmL = 1 mE = 70 GPa

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 60 kNالجزء 1: Ø25 mm، 1,5 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 0,5 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)

δ = mm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت مدرَّج من النحاس الأصفر مثبَّت عند A. الجزء AB قطره 50 mm وطوله 2,5 m؛ والجزء BC قطره 30 mm وطوله 3 m. يؤثّر عزم التواء 250 N·m عند الطرف الحر C. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

T = 250 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 2,5 md₂ = 30 mm, L₂ = 3 m

τ_max = MPa

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 5 kW عند 300 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 5 kWN = 300 rpmd_o = 40 mmd_i = 28 mm

τ_max = MPa

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

35 kN @ 5 m45 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 6 mP = 35 kN عند 5 mw = 4 kN/m من 0 إلى 6 mx = 5 m

M_x = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 160 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 300 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 50 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σ_الأسفل عند الحافة السفلية.

b_f = 280 mmt_f = 20 mmt_w = 16 mmh_w = 180 mmM = 50 kN·m

σ_الأسفل = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −40 MPa و σᵧ = −60 MPa و τₓᵧ = 20 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = −40 MPaσ_y = −60 MPaτ_xy = 20 MPa

τ_max = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 150 MPa و σᵧ = 50 MPa و τₓᵧ = 50 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 20° باتجاه عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = 150 MPaσ_y = 50 MPaτ_xy = 50 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δ_max عند منتصف البحر.

w = 8 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كابولي مسنود مثبَّت عند A ومرتكز ارتكازًا بسيطًا (مسنود) عند B. يحمل حملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. EI ثابت. أوجد ردّ الفعل R_B عند الركيزة الساندة.

L = 5 mP = 50 kN عند 2,5 m

R_B = kN

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 3,056 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 105·1000/490,9 = 213,9 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الألومنيوم = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 213,9/70000 = 0,003056 = 3056 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,003056·1000 mm = 3,056 mm

الإجابة

δ = 3,056 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 3,983 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 122,2 MPa

σ₂ = 191 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 122,2·1500/70000 = 2,619 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 191·500/70000 = 1,364 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,983 mm

الإجابة

δ = 3,983 mm

3.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 47,16 MPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

الإجهاد في كل جزء

T = 250 N·m = 250000 N·mm

τ_AB = 16·250000/(π·50³) = 10,19 MPa

τ_BC = 16·250000/(π·30³) = 47,16 MPa

الإجابة

τ_max = 47,16 MPa

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 16,67 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·300/60 = 31,42 rad/s

T = P/ω = 5000/31,42 = 159,2 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(40⁴ − 28⁴)/32 = 190984 mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·20/190984 = 16,67 MPa

الإجابة

τ_max = 16,67 MPa

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: D (x = 3 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 28,33 kN, R₂ = 51,67 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 28,33, M_C = 56,67, M_D = 85 kN·m, M_E = 68,33, M_F = 51,67, M_G = 0

الإجابة

علامة D: M_D = 85 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 39,17 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 4·6 = 24 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·5 + 4·6·3

R_B = 247/6 = 41,17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 59 − 41,17 = 17,83 kN

اقطع عند x = 5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 17,83·5 − 4·5·2,5 = 39,17 kN·m

الإجابة

M_x = 39,17 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 62,25 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 160·20 = 3200 mm², y_f = 300 + 20/2 = 310 mm

الجذع: A_w = 10·300 = 3000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3200·310 + 3000·150)/6200 = 232,6 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 160·20³/12 + 3200·(310 − 232,6)² = 1,929 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 10·300³/12 + 3000·(150 − 232,6)² = 4,296 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,929 × 10⁷ + 4,296 × 10⁷ = 6,225 × 10⁷ mm⁴ = 62,25 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 62,25 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأسفل = 289,2 MPa

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 280·20 = 5600 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

الجذع: A_w = 16·180 = 2880 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5600·190 + 2880·90)/8480 = 156 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 280·20³/12 + 5600·(190 − 156)² = 6,646 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 16·180³/12 + 2880·(90 − 156)² = 2,034 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,646 × 10⁶ + 2,034 × 10⁷ = 2,698 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة السفلية ȳ عن المحور.

y = 156 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁷·156/2,698 × 10⁷ = 289,2 MPa

الإجابة

σ_الأسفل = 289,2 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 22,36 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((−40 − −60)/2)² + 20²) = 22,36 MPa

الإجابة

τ_max = 22,36 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = 106,2 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 100 + 50·0,766 + 50·−0,6428 = 106,2 MPa

الإجابة

σ_θ = 106,2 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 1,111 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 8 N/mm, L = 4000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

الترخيم

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·8·4000⁴/(384·2,4 × 10¹³) = 1,111 mm

الإجابة

δ_max = 1,111 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: R_B = 15,63 kN

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). في الكمرة غير المحدّدة استاتيكيًا، أزل ركيزة زائدة واشترط أن يكون الترخيم هناك صفرًا (التوافق).

أزل الركيزة الساندة

بدون الركيزة الساندة تكون الكمرة كابوليًا. وكان طرفها الحر سيترخّم تحت الحمل.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

التوافق عند الركيزة الساندة

قوة الركيزة الساندة R_B وحدها ترفع الطرف الحر بمقدار R_BL³/(3EI). الركيزة الساندة تُبقي ترخيم B صفرًا، لذا يجب أن يلغي أحدهما الآخر. ويُختصر EI.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·50/16 = 15,63 kN

الإجابة

R_B = 15,63 kN

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 63,45 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·180000/1400² = 63447 N = 63,45 kN

الإجابة

P_cr = 63,45 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 111 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/15 = 133,3

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/133,3² = 111 MPa

الإجابة

σ_cr = 111 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials