مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب الألومنيوم تحت الحمل المحوري.

P = 115 kNd = 30 mmL = 0,5 mE = 70 GPa

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 110 kNالجزء 1: Ø25 mm، 1 m، الفولاذ (E = 200 GPa)الجزء 2: Ø12 mm، 1 m، الفولاذ (E = 200 GPa)

δ = mm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

في اختبار التواء، تُلوى عيّنة مصمتة قطرها 15 mm بعزم 75 N·m. يدور طرفا طول قياس مقداره 200 mm بزاوية 4,43° أحدهما بالنسبة إلى الآخر (المادة لا تزال مرنة). أوجد معامل القص G للمادة.

T = 75 N·md = 15 mmL = 200 mmφ = 4,43°

G = GPa

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مصمت 10 kW عند 750 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 50 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.

P = 10 kWN = 750 rpmτ_allow = 50 MPa

d = mm

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد قوة القص V_x عند المقطع x = 1 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 4 mw = 6 kN/m من 0 إلى 4 mx = 1 m

V_x = kN

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 4 mP = 45 kN عند 1 mw = 5 kN/m من 0 إلى 4 m

M_max = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 260 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 25 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σ_الأسفل عند الحافة السفلية.

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 12 mmh_w = 200 mmM = 25 kN·m

σ_الأسفل = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 90 MPa و σᵧ = −60 MPa. إلى أيّ حد يمكن أن يكبر إجهاد القص τ_xy (مقداره) قبل أن يبلغ أكبر إجهاد رئيسي 115 MPa؟

σ_x = 90 MPaσ_y = −60 MPaσ₁ = 115 MPa

τ_xy = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

عمود مصمت قطره 30 mm يحمل عزم انحناء مقداره 1000 N·m مع عزم التواء 750 N·m. عند السطح العلوي، حيث يكون إجهاد الانحناء شدًّا وأكبر ما يمكن، أوجد أكبر إجهاد رئيسي σ₁.

d = 30 mmM = 1000 N·mT = 750 N·m

σ₁ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δ_max عند منتصف البحر.

w = 20 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة خشبية بسيطة الارتكاز ذات مقطع مستطيل عرضه 150 mm تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. لا يجوز أن يتجاوز ترخيم منتصفها البحر/360. أوجد أصغر عمق h_req للمقطع.

w = 2,5 kN/mL = 4,5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)b = 150 mm

h_req = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 80 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 1,162 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 115·1000/706,9 = 162,7 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الألومنيوم = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 162,7/70000 = 0,002324 = 2324 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,002324·500 mm = 1,162 mm

الإجابة

δ = 1,162 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 5,984 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 224,1 MPa

σ₂ = 972,6 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 224,1·1000/200000 = 1,12 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 972,6·1000/200000 = 4,863 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 5,984 mm

الإجابة

δ = 5,984 mm

3.التواء الأعمدة

الإجابة: G = 39,03 GPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي والزاوية

J = π·15⁴/32 = 4970 mm⁴

φ = 4,43·π/180 = 0,07732 rad

معامل القص

T = 75 N·m = 75000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 75000·200/(4970·0,07732) = 39034 MPa

G = 39,03 GPa

الإجابة

G = 39,03 GPa

للمقارنة: الفولاذ ≈ 80 GPa، النحاس الأصفر ≈ 39 GPa، الألومنيوم ≈ 26 GPa.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 23,49 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·750/60 = 78,54 rad/s

T = P/ω = 10000/78,54 = 127,3 N·m

القطر من الإجهاد المسموح

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·127324/(π·50)) = 23,49 mm

الإجابة

d = 23,49 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: V_x = 6 kN

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 6·4·2

R_B = 48/4 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 12 = 12 kN

اقطع عند x = 1 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

V = R_A − (كل الأحمال إلى الأسفل على يسار المقطع)

V_x = 12 − 6·1 = 6 kN

الإجابة

V_x = 6 kN

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 41,25 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 45·1 + 5·4·2

R_B = 85/4 = 21,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 21,25 = 43,75 kN

أين يكون V = 0؟

V(1⁻) = R_A − w·1 = 38,75 kN

V(1⁺) = 38,75 − 45 = −6,25 kN

يتغيّر القص في إشارته عند الحمل، لذا يقع الحد الأقصى تحت الحمل.

أقصى عزم

M_max = R_A·1 − w·1²/2 = 43,75·1 − 5·1²/2 = 41,25 kN·m

الإجابة

M_max = 41,25 kN·m

يقع عند x = 1 m من A.

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 15,63 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 260·20 = 5200 mm², y_f = 160 + 20/2 = 170 mm

الجذع: A_w = 12·160 = 1920 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5200·170 + 1920·80)/7120 = 145,7 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 260·20³/12 + 5200·(170 − 145,7)² = 3,236 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 12·160³/12 + 1920·(80 − 145,7)² = 1,239 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3,236 × 10⁶ + 1,239 × 10⁷ = 1,563 × 10⁷ mm⁴ = 15,63 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 15,63 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأسفل = 149,2 MPa

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 200 + 25/2 = 212,5 mm

الجذع: A_w = 12·200 = 2400 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·212,5 + 2400·100)/8900 = 182,2 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 260·25³/12 + 6500·(212,5 − 182,2)² = 6,321 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 12·200³/12 + 2400·(100 − 182,2)² = 2,42 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6,321 × 10⁶ + 2,42 × 10⁷ = 3,052 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة السفلية ȳ عن المحور.

y = 182,2 mm

σ = M·y/I = 2,5 × 10⁷·182,2/3,052 × 10⁷ = 149,2 MPa

الإجابة

σ_الأسفل = 149,2 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_xy = 66,14 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

نصف القطر المطلوب

C = (90 + (−60))/2 = 15 MPa

R = σ₁ − C = 115 − 15 = 100 MPa

إجهاد القص

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(100² − 75²) = 66,14 MPa

الإجابة

τ_xy = 66,14 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ₁ = 424,4 MPa

الإجهادات عند السطح

σ = 32M/(πd³) = 32·1000000/(π·30³) = 377,3 MPa

τ = 16T/(πd³) = 16·750000/(π·30³) = 141,5 MPa

دائرة مور

C = σ/2 = 188,6 MPa

R = √(188,6² + 141,5²) = 235,8 MPa

σ₁ = C + R = 424,4 MPa

σ₂ = C − R = −47,16 MPa

الإجابة

σ₁ = 424,4 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 5,211 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 1500 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

الترخيم

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·1500⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 5,211 mm

الإجابة

δ_max = 5,211 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: h_req = 198 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 4500 mm, E = 11000 N/mm²

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 4500/360 = 12,5 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·4500⁴/(384·11000·12,5) = 9,708 × 10⁷ mm⁴

العمق المطلوب

bh³/12 = I_req → h = (12·9,708 × 10⁷/150)^1/3 = 198 mm

الإجابة

h_req = 198 mm

عمليًا، اختر العمق القياسي التالي الأكبر من هذه القيمة.

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 324 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/3500² = 323984 N = 324 kN

الإجابة

P_cr = 324 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 44,76 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/10 = 210

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/210² = 44,76 MPa

الإجابة

σ_cr = 44,76 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials