مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب النحاس تحت الحمل المحوري.

P = 55 kNd = 25 mmL = 3 mE = 117 GPa

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 90 kNالجزء 1: Ø35 mm، 1,5 m، النحاس (E = 117 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 2 m، النحاس (E = 117 GPa)

σ_max = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الفولاذ مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 200 N·md = 30 mmL = 1 mG = 80 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من النحاس الأصفر قطره 50 mm مثبَّت في جدارين صلبين عند طرفيه A و B. يؤثّر عزم التواء 250 N·m عند C، على بعد 2,5 m من A و 0,5 m من B. أوجد زاوية دوران المقطع C φ_C بالدرجات.

d = 50 mmT₀ = 250 N·ma = 2,5 mb = 0,5 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد قوة القص V_x عند المقطع x = 2,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mw = 5 kN/m من 0 إلى 10 mx = 2,5 m

V_x = kN

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

45 kN @ 12 m6 kN/m, 0–8 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 180 mmt_f = 30 mmt_w = 8 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

كمرة من الحديد الزهر لها مقطع T الموضّح، والشفة في الأعلى. الإجهادات المسموحة 30 MPa في الشد و 150 MPa في الضغط. أوجد أكبر عزم انحناء موجب (تقعّر) M_allow يمكن أن تتحمّله الكمرة.

b_f = 140 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 160 mmσ_t,allow = 30 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −50 MPa و σᵧ = −70 MPa و τₓᵧ = −20 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = −50 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = −20 MPa

τ_max = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = −30 MPa، σᵧ = 100 MPa و τₓᵧ = 20 MPa (σ_z = 0). إجهاد خضوع المادة 460 MPa. أوجد معامل الأمان n ضد الخضوع وفق معيار فون ميزس (طاقة التشوّه).

σ_x = −30 MPaσ_y = 100 MPaτ_xy = 20 MPaσ_Y = 460 MPa

n =

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي طوله L مثبَّت عند A ويحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 1 m من A. أوجد الترخيم δ_B عند الطرف الحر B.

P = 14 kNa = 1 mL = 2,5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 19 kNw = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. يجب أن يحمل 10 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 10 kNn = 2L = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 2,873 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 55·1000/490,9 = 112 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 112/117000 = 0,0009577 = 957,7 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,0009577·3000 mm = 2,873 mm

الإجابة

δ = 2,873 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 286,5 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 93,54 MPa

σ₂ = 286,5 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 286,5 MPa

الإجابة

σ_max = 286,5 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 1,801 °

عزم القصور القطبي

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 200·1000·1000/(80000·79522) = 0,03144 rad

φ = 0,03144·180/π = 1,801°

الإجابة

φ = 1,801°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: φ_C = 0,2494 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω. عندما يكون الطرفان مثبَّتين، يعطي علم السكون وحده T_A + T_B = T₀ فقط؛ والمعادلة الثانية هي التوافق (تساوي التواء الجزأين عند المقطع المحمَّل).

الاتزان والتوافق

T_A + T_B = 250

T_A·a = T_B·b

T_A = 250·0,5/3 = 41,67 N·m

T_B = 250·2,5/3 = 208,3 N·m

دوران C

استخدم الجزء AC: إنه مثبَّت عند A ويحمل T_A.

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 41667·2500/(39000·613592) = 0,004353 rad = 0,2494°

الإجابة

φ_C = 0,2494°

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: V_x = 12,5 kN

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·10 = 50 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 5·10·5

R_B = 250/10 = 25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 25 = 25 kN

اقطع عند x = 2,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

V = R_A − (كل الأحمال إلى الأسفل على يسار المقطع)

V_x = 25 − 5·2,5 = 12,5 kN

الإجابة

V_x = 12,5 kN

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 8 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 1,5 kN, R₂ = 91,5 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = −9, M_C = −42, M_D = −99, M_E = −180 kN·m, M_F = −90, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = −180 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 22,06 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 180·30 = 5400 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

الجذع: A_w = 8·200 = 1600 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5400·215 + 1600·100)/7000 = 188,7 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 180·30³/12 + 5400·(215 − 188,7)² = 4,136 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 8·200³/12 + 1600·(100 − 188,7)² = 1,793 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,136 × 10⁶ + 1,793 × 10⁷ = 2,206 × 10⁷ mm⁴ = 22,06 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 22,06 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: M_allow = 3,216 kN·m

المركز

ȳ = (2100·167,5 + 2240·80)/4340 = 122,3 mm

الحافة العلوية: c = 175 − 122,3 = 52,66 mm

عزم القصور الذاتي للمساحة

I = 140·15³/12 + 2100·45,16² + 14·160³/12 + 2240·42,34² = 1,312 × 10⁷ mm⁴

العزم المسموح من كل حافة

التقعّر: الأعلى في ضغط، والأسفل في شد.

الحافة العلوية: M = 150·1,312 × 10⁷/52,66 = 37,36 kN·m

الحافة السفلية: M = 30·1,312 × 10⁷/122,3 = 3,216 kN·m

القيمة الحاكمة

M_allow = min = 3,216 kN·m (الحافة السفلية)

الإجابة

M_allow = 3,216 kN·m

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 22,36 MPa

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((−50 − −70)/2)² + −20²) = 22,36 MPa

الإجابة

τ_max = 22,36 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: n = 3,743

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σ_Y؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σ_Y/2.

الإجهادات الرئيسية

C = 35 MPa, R = 68,01 MPa

σ₁ = 103 MPa, σ₂ = −33,01 MPa, σ₃ = 0

فون ميزس

σ_vM = √(103² − 103·(−33,01) + (−33,01)²) = 122,9 MPa

n = 460/122,9 = 3,743

الإجابة

n = 3,743

n > 1 يعني أن النقطة لا تخضع؛ وتريسكا أكثر تحفّظًا قليلًا من فون ميزس.

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_B = 59,95 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 14000 N, a = 1000 mm, L = 2500 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

الترخيم عند الطرف الحر

الترخيم عند الحمل زائد الميل عند الحمل مضروبًا في الطول المتبقي.

δ_P = Pa³/(3EI) = 18,45 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,02767 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 59,95 mm

الإجابة

δ_B = 59,95 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 53,04 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 19000 N, w = 5 N/mm, L = 5000 mm, EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(48EI) = 19000·5000³/(48·1,7 × 10¹²) = 29,11 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 23,94 mm

اجمعها

δ_max = 29,11 + 23,94 = 53,04 mm

الإجابة

δ_max = 53,04 mm

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 32,9 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·4000 = 4000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/4000² = 32899 N = 32,9 kN

الإجابة

P_cr = 32,9 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 33,7 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2·10000 = 20000 N

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·20000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 33,7 mm

الإجابة

d = 33,7 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 296,7، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials