مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب النحاس، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 60 kNd = 30 mmL = 1 mE = 117 GPa

ε = µε

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 85 kNالجزء 1: Ø40 mm، 0,5 m، الفولاذ (E = 200 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 1 m، النحاس (E = 117 GPa)

δ = mm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الألومنيوم مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 100 N·md = 25 mmL = 1,2 mG = 26 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 50 kW عند 1450 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 50 kWN = 1450 rpmd_o = 60 mmd_i = 36 mm

τ_max = MPa

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 9,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mw = 8 kN/m من 0 إلى 10 mx = 9,5 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 2,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 4 mP = 25 kN عند 2 mw = 10 kN/m من 0 إلى 4 mx = 2,5 m

M_x = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع I متماثل له شفتان عرض كلٍّ منهما 110 mm وسُمكها 24 mm، وعمق كلي 500 mm، وجذع سُمكه 14 mm. أوجد معامل المقطع المرن S_x للانحناء حول المحور المركزي الأفقي x.

B = 110 mmH = 500 mmt_f = 24 mmt_w = 14 mm

S_x = × 10³ mm³

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 30 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_الأعلى عند الحافة العلوية.

b_f = 120 mmt_f = 30 mmt_w = 14 mmh_w = 260 mmM = 30 kN·m

σ_الأعلى = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = 110 MPa، σᵧ = 30 MPa و τₓᵧ = −40 MPa، مع σ_z = 0. أوجد أقصى إجهاد قص مطلق τ_abs عند النقطة (مع مراعاة كل المستويات في ثلاثة أبعاد).

σ_x = 110 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −40 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −80 MPa و σᵧ = 120 MPa و τₓᵧ = 40 MPa (الشدّ موجب). أوجد الإجهاد العمودي σ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 20° باتجاه عقارب الساعة من المحور x.

σ_x = −80 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 40 MPaθ = -20°

σ_θ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

w = 6 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كابولي مسنود مثبَّت عند A ومرتكز ارتكازًا بسيطًا (مسنود) عند B. يحمل حملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. EI ثابت. أوجد ردّ الفعل R_B عند الركيزة الساندة.

L = 5 mP = 50 kN عند 2,5 m

R_B = kN

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 1,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 725,5 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·30²/4 = 706,9 mm²

σ = P/A = 60·1000/706,9 = 84,88 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for النحاس = 117 GPa = 117000 MPa.

ε = σ/E = 84,88/117000 = 0,0007255 = 725,5 µε

الإجابة

ε = 725,5 µε

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 2,482 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 67,64 MPa

σ₂ = 270,6 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 67,64·500/200000 = 0,1691 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 270,6·1000/117000 = 2,313 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 2,482 mm

الإجابة

δ = 2,482 mm

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 6,896 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 100·1000·1200/(26000·38350) = 0,1204 rad

φ = 0,1204·180/π = 6,896°

الإجابة

φ = 6,896°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 8,92 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 50000/151,8 = 329,3 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(60⁴ − 36⁴)/32 = 1,107 × 10⁶ mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 329286·30/1,107 × 10⁶ = 8,92 MPa

الإجابة

τ_max = 8,92 MPa

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 19 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 8·10·5

R_B = 400/10 = 40 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 40 = 40 kN

اقطع عند x = 9,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 40·9,5 − 8·9,5·4,75 = 19 kN·m

الإجابة

M_x = 19 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 37,5 kN·m

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·2 + 10·4·2

R_B = 130/4 = 32,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 32,5 = 32,5 kN

اقطع عند x = 2,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 32,5·2,5 − 25·(2,5 − 2) − 10·2,5·1,25 = 37,5 kN·m

الإجابة

M_x = 37,5 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: S_x = 1628 × 10³ mm³

عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = I_c + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد.

المستطيل الخارجي ناقص الفراغين الجانبيين

عرض الفراغين معًا (B − t_w) وارتفاعهما h_w = H − 2t_f، ويشتركان في المحور x.

h_w = 500 − 2·24 = 452 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (110·500³ − 96·452³)/12

I_x = 4,071 × 10⁸ mm⁴

معامل المقطع

c = H/2 = 250 mm

S_x = I/c = 4,071 × 10⁸/250

S_x = 1,628 × 10⁶ mm³ = 1628 × 10³ mm³

الإجابة

S_x = 1628 × 10³ mm³

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأعلى = 44,82 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 120·30 = 3600 mm², y_f = 260 + 30/2 = 275 mm

الجذع: A_w = 14·260 = 3640 mm², y_w = 260/2 = 130 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·275 + 3640·130)/7240 = 202,1 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 120·30³/12 + 3600·(275 − 202,1)² = 1,94 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 14·260³/12 + 3640·(130 − 202,1)² = 3,943 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,94 × 10⁷ + 3,943 × 10⁷ = 5,883 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 290 − 202,1 = 87,9 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·87,9/5,883 × 10⁷ = 44,82 MPa

الإجابة

σ_الأعلى = 44,82 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_abs = 63,28 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. في ثلاثة أبعاد، أقصى إجهاد قص مطلق هو (σ_max − σ_min)/2 على الإجهادات الرئيسية الثلاثة؛ وفي الإجهاد المستوي يكون الثالث صفرًا.

الإجهادان الرئيسيان في المستوى

C = 70 MPa, R = √(40² + (−40)²) = 56,57 MPa

σ₁ = 126,6 MPa, σ₂ = 13,43 MPa, σ_z = 0

أكبر الدوائر الثلاث

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(113,1, 126,6, 13,43)/2 = 63,28 MPa

الإجابة

τ_abs = 63,28 MPa

هنا تحكم الدائرة خارج المستوى: الحد الأقصى المطلق أكبر من الحد الأقصى في المستوى R.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_θ = −82,32 MPa

معادلة التحويل

σ_θ = 20 + −100·0,766 + 40·−0,6428 = −82,32 MPa

الإجابة

σ_θ = −82,32 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 14,29 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2000 mm

EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

الترخيم

δ = wL⁴/(8EI) = 6·2000⁴/(8·8,4 × 10¹¹) = 14,29 mm

الإجابة

δ = 14,29 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: R_B = 15,63 kN

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). في الكمرة غير المحدّدة استاتيكيًا، أزل ركيزة زائدة واشترط أن يكون الترخيم هناك صفرًا (التوافق).

أزل الركيزة الساندة

بدون الركيزة الساندة تكون الكمرة كابوليًا. وكان طرفها الحر سيترخّم تحت الحمل.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

التوافق عند الركيزة الساندة

قوة الركيزة الساندة R_B وحدها ترفع الطرف الحر بمقدار R_BL³/(3EI). الركيزة الساندة تُبقي ترخيم B صفرًا، لذا يجب أن يلغي أحدهما الآخر. ويُختصر EI.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·50/16 = 15,63 kN

الإجابة

R_B = 15,63 kN

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 2,948 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·5000 = 10000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/10000² = 2948 N = 2,948 kN

الإجابة

P_cr = 2,948 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 17,27 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/15 = 200

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17,27 MPa

الإجابة

σ_cr = 17,27 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials