مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 40 mm والطول 300 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من النحاس (القطر 30 mm والطول 200 mm وE = 120 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,5 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø40 mm, 300 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس, Ø30 mm, 200 mm, E = 120 GPaδ = 0,5 mm

P = kN

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 70 kNالجزء 1: Ø25 mm، 0,5 m، الفولاذ (E = 200 GPa)الجزء 2: Ø12 mm، 0,5 m، النحاس (E = 117 GPa)

δ = mm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الفولاذ مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 250 N·md = 50 mmL = 2 mG = 80 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

يجب أن ينقل عمود مصمت 75 kW عند 1800 rpm دون أن يتجاوز إجهاد القص 75 MPa. أوجد أصغر قطر مناسب d.

P = 75 kWN = 1800 rpmτ_allow = 75 MPa

d = mm

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملين مركّزين. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 8 mP₁ = 45 kN عند 3 mP₂ = 45 kN عند 7 m

M_max = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

50 kN @ 0 m40 kN @ 6 m55 kN @ 3 m6 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 100 mm × 200 mm فيه ثقب دائري قطره 30 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 140 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 100 mmh = 200 mmd = 30 mmمركز الثقب: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 5 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σ_الأسفل عند الحافة السفلية.

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 200 mmM = 5 kN·m

σ_الأسفل = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 160 MPa، σᵧ = 110 MPa و τₓᵧ = 50 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 20° عكس عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σ_y′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.

σ_x = 160 MPaσ_y = 110 MPaτ_xy = 50 MPaθ = 20°

σ_y′ = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 0 MPa و σᵧ = −20 MPa و τₓᵧ = −50 MPa (الشدّ موجب). أوجد إجهاد القص τ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 50° عكس عقارب الساعة من المحور x (موجب في الاتجاه نفسه لـ τₓᵧ).

σ_x = 0 MPaσ_y = −20 MPaτ_xy = −50 MPaθ = 50°

τ_θ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي طوله L مثبَّت عند A ويحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 0,5 m من A. أوجد الترخيم δ_B عند الطرف الحر B.

P = 30 kNa = 0,5 mL = 2 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي I_req يحقّق هذا الحد.

w = 10 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 140,8 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 1257 mm², A₂ = 706,9 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 300/(200000·1257) = 1,194 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 200/(120000·706,9) = 2,358 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,5/3,552 × 10⁻⁶ = 140785 N = 140,8 kN

الإجابة

P = 140,8 kN

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 3,002 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·12²/4 = 113,1 mm²

σ₁ = 142,6 MPa

σ₂ = 618,9 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 142,6·500/200000 = 0,3565 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 618,9·500/117000 = 2,645 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 3,002 mm

الإجابة

δ = 3,002 mm

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 0,5836 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 250·1000·2000/(80000·613592) = 0,01019 rad

φ = 0,01019·180/π = 0,5836°

الإجابة

φ = 0,5836°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 30,01 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 75000/188,5 = 397,9 N·m

القطر من الإجهاد المسموح

d = ∛(16T/(π·τ_allow)) = ∛(16·397887/(π·75)) = 30,01 mm

الإجابة

d = 30,01 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 101,3 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 45·3 + 45·7

R_B = 450/8 = 56,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 90 − 56,25 = 33,75 kN

العزم تحت كل حمل

احتفظ بالجزء الواقع يسار كل حمل.

تحت P₁: M = R_A·3 = 33,75·3 = 101,3 kN·m

تحت P₂: M = R_B·1 = 56,25·1 = 56,25 kN·m

أكبر قيمة

M_max = 101,3 kN·m (تحت P₁)

الإجابة

M_max = 101,3 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: B (x = 1 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 92 kN, R₂ = 77 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = −50 kN·m, M_C = −11, M_D = 22, M_E = −6, M_F = −40, M_G = 0

الإجابة

علامة B: M_B = −50 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 65,45 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (20000·100 − 706,9·140)/(20000 − 706,9) = 98,53 mm

اللوح الكامل حول ȳ

100·200³/12 + 20000·1,466² = 66,71 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·41,47² = 1,255 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 65,45 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 65,45 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأسفل = 36,41 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 180·25 = 4500 mm², y_f = 200 + 25/2 = 212,5 mm

الجذع: A_w = 10·200 = 2000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·212,5 + 2000·100)/6500 = 177,9 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 180·25³/12 + 4500·(212,5 − 177,9)² = 5,626 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 10·200³/12 + 2000·(100 − 177,9)² = 1,88 × 10⁷ mm⁴

I_x = 5,626 × 10⁶ + 1,88 × 10⁷ = 2,443 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة السفلية ȳ عن المحور.

y = 177,9 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·177,9/2,443 × 10⁷ = 36,41 MPa

الإجابة

σ_الأسفل = 36,41 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_y′ = 83,71 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

معادلة التحويل للوجه y′

σ_y′ = 135 − 25·0,766 − 50·0,6428 = 83,71 MPa

تحقّق

مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.

σ_x′ = 186,3 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 270 = σ_x + σ_y

الإجابة

σ_y′ = 83,71 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_θ = −1,166 MPa

معادلة التحويل

τ_θ = −10·0,9848 + −50·−0,1736 = −1,166 MPa

الإجابة

τ_θ = −1,166 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_B = 52,08 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 30000 N, a = 500 mm, L = 2000 mm

EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

الترخيم عند الطرف الحر

الترخيم عند الحمل زائد الميل عند الحمل مضروبًا في الطول المتبقي.

δ_P = Pa³/(3EI) = 9,47 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,02841 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 52,08 mm

الإجابة

δ_B = 52,08 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: I_req = 18,08 × 10⁶ mm⁴

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·10·3000⁴/(384·70000·8,333) = 1,808 × 10⁷ mm⁴

I_req = 18,08 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_req = 18,08 × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 118,4 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·3000 = 1500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/1500² = 118435 N = 118,4 kN

الإجابة

P_cr = 118,4 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 49,35 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/15 = 200

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/200² = 49,35 MPa

الإجابة

σ_cr = 49,35 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials