مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 20 mm والطول 600 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من النحاس الأصفر (القطر 40 mm والطول 400 mm وE = 100 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,4 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø20 mm, 600 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس الأصفر, Ø40 mm, 400 mm, E = 100 GPaδ = 0,4 mm

P = kN

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

مقطع الفولاذ (القطر 20 mm والطول 400 mm وE = 200 GPa) ومقطع من النحاس الأصفر (القطر 50 mm والطول 300 mm وE = 100 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 60 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ₂ في المقطع 2.

المقطع 1: الفولاذ, Ø20 mm, 400 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس الأصفر, Ø50 mm, 300 mm, E = 100 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت مدرَّج من الألومنيوم مثبَّت عند A. الجزء AB قطره 50 mm وطوله 2 m؛ والجزء BC قطره 30 mm وطوله 2 m. يؤثّر عزم التواء 100 N·m عند الطرف الحر C. أوجد زاوية التواء الطرف C φ_C بالدرجات.

T = 100 N·md₁ = 50 mm, L₁ = 2 md₂ = 30 mm, L₂ = 2 mG = 26 GPa

φ_C = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الفولاذ قطره 20 mm مثبَّت عند A. يؤثّر عزم التواء 500 N·m عند B على بعد 1,2 m من A، ويؤثّر عزم التواء 100 N·m في الاتجاه المعاكس عند الطرف الحر C، على بعد 1 m إضافية. أوجد مقدار زاوية التواء الطرف C φ_C بالدرجات.

d = 20 mmT_B = 500 N·mT_C = 100 N·mAB = 1,2 mBC = 1 mG = 80 GPa

φ_C = °

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 2 m حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P₁ بين الركيزتين وحملًا مركّزًا P₂ عند C. أوجد قوة القص V_x يسار الركيزة B مباشرةً. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mP₁ = 65 kN عند 2 mP₂ = 55 kN عند 10 mركيزتان عند x = 0 و x = 8 m

V_x = kN

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 4,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 6 mP = 45 kN عند 1 mw = 8 kN/m من 0 إلى 6 mx = 4,5 m

M_x = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 150 mm × 150 mm فيه ثقب دائري قطره 40 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 60 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 150 mmh = 150 mmd = 40 mmمركز الثقب: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 150 mm × 150 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 60 mm وارتفاعها 40 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 90 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 150 mmh = 150 mmالفتحة: 60 × 40 mmمركز الثقب: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 110 MPa، σᵧ = 0 MPa و τₓᵧ = 10 MPa (الشد موجب). أوجد الزاوية θ_s، بين −90° و 90°، من المحور x إلى العمودي على المستوى الذي يبلغ عليه إجهاد القص قيمته الموجبة القصوى +R (القص موجب في اتجاه τₓᵧ نفسه).

σ_x = 110 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 10 MPa

θ_s = °

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = −60 MPa و σᵧ = 70 MPa و τₓᵧ = 10 MPa (الشدّ موجب). أوجد إجهاد القص τ_θ على مستوى يدور العمودي عليه بزاوية 60° عكس عقارب الساعة من المحور x (موجب في الاتجاه نفسه لـ τₓᵧ).

σ_x = −60 MPaσ_y = 70 MPaτ_xy = 10 MPaθ = 60°

τ_θ = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

w = 6 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي I_req يحقّق هذا الحد.

w = 8 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 20 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. يجب أن يحمل 40 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 40 kNn = 2,5L = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 31,42 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 314,2 mm², A₂ = 1257 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·314,2) = 9,549 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(100000·1257) = 3,183 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,4/1,273 × 10⁻⁵ = 31416 N = 31,42 kN

الإجابة

P = 31,42 kN

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ₂ = 24,64 MPa

الصلابات

k₁ = 200000·314,2/400 = 157080 N/mm

k₂ = 100000·1963/300 = 654498 N/mm

حصة المقطع 2

F₂ = 60000·654498/811578 = 48387 N

الإجهاد

σ₂ = 48387/1963 = 24,64 MPa (ضغط)

الإجابة

σ₂ = 24,64 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ_C = 6,261 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزوم القصور القطبية

J₁ = π·50⁴/32 = 613592 mm⁴

J₂ = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

التواء كل جزء

T = 100 N·m = 100000 N·mm

G = 26 GPa = 26000 MPa

φ_AB = 100000·2000/(26000·613592) = 0,01254 rad

φ_BC = 100000·2000/(26000·79522) = 0,09673 rad

الالتواء الكلي

φ_C = 0,01254 + 0,09673 = 0,1093 rad = 6,261°

الإجابة

φ_C = 6,261°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: φ_C = 17,33 °

عزوم الالتواء الداخلية

اتجاه T_C مأخوذ موجبًا.

T_BC = T_C = 100 N·m

T_AB = T_C − T_B = 100 − 500 = −400 N·m

التواء كل جزء

J = π·20⁴/32 = 15708 mm⁴

G = 80 GPa = 80000 MPa

φ_AB = −400000·1200/(80000·15708) = −0,382 rad

φ_BC = 100000·1000/(80000·15708) = 0,07958 rad

التواء الطرف C

φ_C = −0,382 + 0,07958 = −0,3024 rad → |φ_C| = 17,33°

الإجابة

φ_C = 17,33°

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: V_x = −30 kN

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها. حمل الجزء البارز يؤثّر أيضًا بعزم حول A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 65·2 + 55·10

R_B = 680/8 = 85 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 85 = 35 kN

اقطع يسار B مباشرةً واحتفظ بالجزء الأيسر

V_x = R_A − P₁ = 35 − 65 = −30 kN

الإجابة

V_x = −30 kN

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 38,25 kN·m

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·1 + 8·6·3

R_B = 189/6 = 31,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 93 − 31,5 = 61,5 kN

اقطع عند x = 4,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 61,5·4,5 − 45·(4,5 − 1) − 8·4,5·2,25 = 38,25 kN·m

الإجابة

M_x = 38,25 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 41,76 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (22500·75 − 1257·60)/(22500 − 1257) = 75,89 mm

اللوح الكامل حول ȳ

150·150³/12 + 22500·−0,8873² = 42,21 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−15,89² = 0,4428 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 41,76 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 41,76 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 41,26 × 10⁶ mm⁴

المركز

ȳ = (22500·75 − 2400·90)/(22500 − 2400) = 73,21 mm

اللوح الكامل حول ȳ

150·150³/12 + 22500·1,791² = 42,26 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

60·40³/12 + 2400·16,79² = 0,9967 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 41,26 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 41,26 × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_s = −39,85 °

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

الزاوية على الدائرة

على دائرة مور تبعد نقطة القمة (+R) بـ 90° عن النقطة الرئيسية σ₁؛ وعلى العنصر يعادل ذلك 45°.

cos 2θ_s = 10/55,9 = 0,1789, sin 2θ_s = −55/55,9 = −0,9839

2θ_s = atan2(−55, 10) = −79,7°

الزاوية على العنصر

θ_s = −39,85°

تحقّق: θ_s − θ_p = −39,85 − 5,152 = −45°

الإجابة

θ_s = −39,85°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_θ = 51,29 MPa

معادلة التحويل

τ_θ = −−65·0,866 + 10·−0,5 = 51,29 MPa

الإجابة

τ_θ = 51,29 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 47,43 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

الترخيم

δ = wL⁴/(8EI) = 6·2000⁴/(8·2,53 × 10¹¹) = 47,43 mm

الإجابة

δ = 47,43 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: I_req = 27,27 × 10⁶ mm⁴

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5,556 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·2000⁴/(384·11000·5,556) = 2,727 × 10⁷ mm⁴

I_req = 27,27 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_req = 27,27 × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 2,412 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·1500 = 1500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·7854/1500² = 2412 N = 2,412 kN

الإجابة

P_cr = 2,412 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 59,63 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2,5·40000 = 100000 N

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·3500²/(π³·200000))^(1/4) = 59,63 mm

الإجابة

d = 59,63 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 234,8، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials