مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب الألومنيوم تحت الحمل المحوري.

P = 15 kNd = 10 mmL = 2 mE = 70 GPa

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 60 kNالجزء 1: Ø35 mm، 2 m، الفولاذ (E = 200 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 0,5 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من النحاس الأصفر مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 1000 N·md = 25 mmL = 0,5 mG = 39 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من الفولاذ ينقل 30 kW بسرعة 1450 rpm. يجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 60 MPa وألّا يتجاوز الالتواء 0,5° لكل m من الطول. أوجد أصغر قطر d يحقّق الحدّين كليهما.

P = 30 kWN = 1450 rpmτ_allow = 60 MPaθ_allow = 0,5°/mG = 80 GPa

d = mm

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 1 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mw = 6 kN/m من 0 إلى 5 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

25 kN @ 0 m10 kN @ 12 m45 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 200 mm × 200 mm فيه ثقب دائري قطره 30 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 130 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 200 mmh = 200 mmd = 30 mmمركز الثقب: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 150 mm × 300 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 60 mm وارتفاعها 30 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 195 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 150 mmh = 300 mmالفتحة: 60 × 30 mmمركز الثقب: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = 140 MPa، σᵧ = 0 MPa و τₓᵧ = 10 MPa، مع σ_z = 0. أوجد أقصى إجهاد قص مطلق τ_abs عند النقطة (مع مراعاة كل المستويات في ثلاثة أبعاد).

σ_x = 140 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = 10 MPaσ_z = 0

τ_abs = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

خزان أسطواني رقيق الجدار قطره الداخلي 1200 mm وسُمك جداره 5 mm يحتوي غازًا عند ضغط مقيس 0,8 MPa. وهو مصنوع من لوح ملحوم على طول درز حلزوني يميل بزاوية 55° عن محور الأسطوانة. أوجد مقدار إجهاد القص |τ_n| المؤثّر على امتداد درز اللحام.

D = 1200 mmt = 5 mmp = 0,8 MPaα = 55°

|τ_n| = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي طوله L مثبَّت عند A ويحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 1 m من A. أوجد الترخيم δ_B عند الطرف الحر B.

P = 19 kNa = 1 mL = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كابولي مسنود مثبَّت عند A ومرتكز ارتكازًا بسيطًا (مسنود) عند B. يحمل حملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. EI ثابت. أوجد ردّ الفعل R_B عند الركيزة الساندة.

L = 5 mP = 55 kN عند 2,5 m

R_B = kN

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 30 × 50 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 5,457 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·10²/4 = 78,54 mm²

σ = P/A = 15·1000/78,54 = 191 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الألومنيوم = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 191/70000 = 0,002728 = 2728 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,002728·2000 mm = 5,457 mm

الإجابة

δ = 5,457 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 191 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·35²/4 = 962,1 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 62,36 MPa

σ₂ = 191 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 191 MPa

الإجابة

σ_max = 191 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 19,15 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·25⁴/32 = 38350 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·500/(39000·38350) = 0,3343 rad

φ = 0,3343·180/π = 19,15°

الإجابة

φ = 19,15°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 41,2 mm

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s

T = P/ω = 30000/151,8 = 197,6 N·m

القطر وفق المقاومة

T = 197,6 N·m = 197572 N·mm

d_τ = ∛(16·197572/(π·60)) = 25,6 mm

القطر وفق الجساءة

θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm

G = 80 GPa = 80000 MPa

d_φ = (32·197572/(π·80000·8,727 × 10⁻⁶))^1/4 = 41,2 mm

القطر الحاكم

يجب تحقيق الحدّين كليهما، لذا يحكم القطر الأكبر.

d = max(25,6, 41,2) = 41,2 mm

الإجابة

d = 41,2 mm

هنا تحكم الجساءة.

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 12 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·5·2,5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

اقطع عند x = 1 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 15·1 − 6·1·0,5 = 12 kN·m

الإجابة

M_x = 12 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: B (x = 2 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 41,67 kN, R₂ = 38,33 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = −50 kN·m, M_C = −16,67, M_D = 16,67, M_E = −40, M_F = −20, M_G = 0

الإجابة

علامة B: M_B = −50 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 132,6 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (40000·100 − 706,9·130)/(40000 − 706,9) = 99,46 mm

اللوح الكامل حول ȳ

200·200³/12 + 40000·0,5397² = 133,3 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·30⁴/64 + 706,9·30,54² = 0,699 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 132,6 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 132,6 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 333,6 × 10⁶ mm⁴

المركز

ȳ = (45000·150 − 1800·195)/(45000 − 1800) = 148,1 mm

اللوح الكامل حول ȳ

150·300³/12 + 45000·1,875² = 337,7 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

60·30³/12 + 1800·46,88² = 4,09 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 333,6 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 333,6 × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_abs = 70,71 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. في ثلاثة أبعاد، أقصى إجهاد قص مطلق هو (σ_max − σ_min)/2 على الإجهادات الرئيسية الثلاثة؛ وفي الإجهاد المستوي يكون الثالث صفرًا.

الإجهادان الرئيسيان في المستوى

C = 70 MPa, R = √(70² + 10²) = 70,71 MPa

σ₁ = 140,7 MPa, σ₂ = −0,7107 MPa, σ_z = 0

أكبر الدوائر الثلاث

τ = max(|σ₁ − σ₂|, |σ₁|, |σ₂|)/2 = max(141,4, 140,7, 0,7107)/2 = 70,71 MPa

الإجابة

τ_abs = 70,71 MPa

هنا σ₁ و σ₂ مختلفا الإشارة، لذا الحد الأقصى في المستوى R هو أيضًا الحد الأقصى المطلق.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: |τ_n| = 22,55 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. الأسطوانة الرقيقة الجدار: الإجهاد المحيطي σ_h = pr/t والإجهاد المحوري σ_a = pr/(2t)؛ وهما الإجهادان الرئيسيان في الجدار.

إجهادات الجدار

r = 1200/2 = 600 mm

σ_h = pr/t = 0,8·600/5 = 96 MPa

σ_a = pr/(2t) = 48 MPa

التحويل إلى الدرز

خذ x على امتداد المحور (σ_a) و y على امتداد المحيط (σ_h). العمودي على الدرز يصنع 90° − α مع المحور.

|τ_n| = (96 − 48)·sin 55°·cos 55° = 22,55 MPa

الإجابة

|τ_n| = 22,55 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_B = 6,597 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 19000 N, a = 1000 mm, L = 2000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

الترخيم عند الطرف الحر

الترخيم عند الحمل زائد الميل عند الحمل مضروبًا في الطول المتبقي.

δ_P = Pa³/(3EI) = 2,639 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,003958 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 6,597 mm

الإجابة

δ_B = 6,597 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: R_B = 17,19 kN

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). في الكمرة غير المحدّدة استاتيكيًا، أزل ركيزة زائدة واشترط أن يكون الترخيم هناك صفرًا (التوافق).

أزل الركيزة الساندة

بدون الركيزة الساندة تكون الكمرة كابوليًا. وكان طرفها الحر سيترخّم تحت الحمل.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

التوافق عند الركيزة الساندة

قوة الركيزة الساندة R_B وحدها ترفع الطرف الحر بمقدار R_BL³/(3EI). الركيزة الساندة تُبقي ترخيم B صفرًا، لذا يجب أن يلغي أحدهما الآخر. ويُختصر EI.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·55/16 = 17,19 kN

الإجابة

R_B = 17,19 kN

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 12,59 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 50·30³/12 = 112500 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·6000 = 4200 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·112500/4200² = 12589 N = 12,59 kN

الإجابة

P_cr = 12,59 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 1,079 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 2·5000 = 10000 mm

KL/r = 10000/12,5 = 800

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/800² = 1,079 MPa

الإجابة

σ_cr = 1,079 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials