مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب من الفولاذ (القطر 20 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من النحاس الأصفر (القطر الخارجي 120 mm والقطر الداخلي 70 mm وE = 100 GPa). طول كل منهما 400 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 50 kN. أوجد الانضغاط δ.

P = 50 kNالقضيب: Ø20 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø120/Ø70 mm, E = 100 GPaL = 400 mm

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

مقطع الفولاذ (القطر 25 mm والطول 600 mm وE = 200 GPa) ومقطع من البرونز (القطر 50 mm والطول 200 mm وE = 110 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 60 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ₂ في المقطع 2.

المقطع 1: الفولاذ, Ø25 mm, 600 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: البرونز, Ø50 mm, 200 mm, E = 110 GPaP = 60 kN

σ₂ = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

في اختبار التواء، تُلوى عيّنة مصمتة قطرها 10 mm بعزم 40 N·m. يدور طرفا طول قياس مقداره 250 mm بزاوية 14,96° أحدهما بالنسبة إلى الآخر (المادة لا تزال مرنة). أوجد معامل القص G للمادة.

T = 40 N·md = 10 mmL = 250 mmφ = 14,96°

G = GPa

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 30 kW عند 1800 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 30 kWN = 1800 rpmd_o = 60 mmd_i = 42 mm

τ_max = MPa

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكابولي مثبَّت عند A. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P على بعد 1,5 m من A. أوجد عزم الانحناء M_A عند الركيزة المثبَّتة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 2,5 mP = 55 kN عند 1,5 mw = 10 kN/m من 0 إلى 2,5 m

M_A = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 6 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 8 mP = 15 kN عند 6 mw = 5 kN/m من 0 إلى 8 mx = 6 m

M_x = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 180 mmt_f = 20 mmt_w = 14 mmh_w = 160 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 100 mm × 300 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 50 mm وارتفاعها 50 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 210 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 100 mmh = 300 mmالفتحة: 50 × 50 mmمركز الثقب: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 130 MPa و σᵧ = 40 MPa و τₓᵧ = −10 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = 130 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = 150 MPa، σᵧ = −70 MPa و τₓᵧ = 40 MPa (σ_z = 0). إجهاد خضوع المادة 350 MPa. أوجد معامل الأمان n ضد الخضوع وفق معيار فون ميزس (طاقة التشوّه).

σ_x = 150 MPaσ_y = −70 MPaτ_xy = 40 MPaσ_Y = 350 MPa

n =

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δ_max عند منتصف البحر.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي I_req يحقّق هذا الحد.

w = 12 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

I_req = × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 60 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 35 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 35 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,02472 mm

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·20²/4 = 314,2 mm²

A_t = π(120² − 70²)/4 = 7461 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·314,2 + 100·10³·7461 = 8,09 × 10⁸ N

الانضغاط

δ = 50000·400/8,09 × 10⁸ = 0,02472 mm

الإجابة

δ = 0,02472 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ₂ = 26,54 MPa

الصلابات

k₁ = 200000·490,9/600 = 163625 N/mm

k₂ = 110000·1963/200 = 1,08 × 10⁶ N/mm

حصة المقطع 2

F₂ = 60000·1,08 × 10⁶/1,244 × 10⁶ = 52105 N

الإجهاد

σ₂ = 52105/1963 = 26,54 MPa (ضغط)

الإجابة

σ₂ = 26,54 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: G = 39,01 GPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي والزاوية

J = π·10⁴/32 = 981,7 mm⁴

φ = 14,96·π/180 = 0,2611 rad

معامل القص

T = 40 N·m = 40000 N·mm

G = TL/(Jφ) = 40000·250/(981,7·0,2611) = 39011 MPa

G = 39,01 GPa

الإجابة

G = 39,01 GPa

للمقارنة: الفولاذ ≈ 80 GPa، النحاس الأصفر ≈ 39 GPa، الألومنيوم ≈ 26 GPa.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 4,938 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1800/60 = 188,5 rad/s

T = P/ω = 30000/188,5 = 159,2 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(60⁴ − 42⁴)/32 = 966855 mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 159155·30/966855 = 4,938 MPa

الإجابة

τ_max = 4,938 MPa

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_A = −113,8 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

احتفظ بجزء الطرف الحر

P: −55·1,5 = −82,5 kN·m

w: −10·2,5²/2 = −31,25 kN·m

M_A = −82,5 − 31,25 = −113,8 kN·m

الإجابة

M_A = −113,8 kN·m

الإشارة السالبة تعني التحدّب: شدّ على الوجه العلوي.

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 52,5 kN·m

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·8 = 40 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·6 + 5·8·4

R_B = 250/8 = 31,25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 31,25 = 23,75 kN

اقطع عند x = 6 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 23,75·6 − 5·6·3 = 52,5 kN·m

الإجابة

M_x = 52,5 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 16,08 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 180·20 = 3600 mm², y_f = 160 + 20/2 = 170 mm

الجذع: A_w = 14·160 = 2240 mm², y_w = 160/2 = 80 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·170 + 2240·80)/5840 = 135,5 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 180·20³/12 + 3600·(170 − 135,5)² = 4,41 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 14·160³/12 + 2240·(80 − 135,5)² = 1,167 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4,41 × 10⁶ + 1,167 × 10⁷ = 1,608 × 10⁷ mm⁴ = 16,08 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 16,08 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 214,7 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (30000·150 − 2500·210)/(30000 − 2500) = 144,5 mm

اللوح الكامل حول ȳ

100·300³/12 + 30000·5,455² = 225,9 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

50·50³/12 + 2500·65,45² = 11,23 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 214,7 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 214,7 × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 46,1 MPa

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((130 − 40)/2)² + −10²) = 46,1 MPa

الإجابة

τ_max = 46,1 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: n = 1,694

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σ_Y؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σ_Y/2.

الإجهادات الرئيسية

C = 40 MPa, R = 117 MPa

σ₁ = 157 MPa, σ₂ = −77,05 MPa, σ₃ = 0

فون ميزس

σ_vM = √(157² − 157·(−77,05) + (−77,05)²) = 206,6 MPa

n = 350/206,6 = 1,694

الإجابة

n = 1,694

n > 1 يعني أن النقطة لا تخضع؛ وتريسكا أكثر تحفّظًا قليلًا من فون ميزس.

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 22,56 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3000 mm

EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

الترخيم

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·3000⁴/(384·9,35 × 10¹⁰) = 22,56 mm

الإجابة

δ_max = 22,56 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: I_req = 411,4 × 10⁶ mm⁴

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 8000/360 = 22,22 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·8000⁴/(384·70000·22,22) = 4,114 × 10⁸ mm⁴

I_req = 411,4 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_req = 411,4 × 10⁶ mm⁴

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 56,06 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/2800² = 56060 N = 56,06 kN

الإجابة

P_cr = 56,06 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 45,63 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 3·35000 = 105000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·105000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 45,63 mm

الإجابة

d = 45,63 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 175,3، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials