مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 30 mm والطول 600 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من النحاس الأصفر (القطر 60 mm والطول 300 mm وE = 100 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,3 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: النحاس الأصفر, Ø60 mm, 300 mm, E = 100 GPaδ = 0,3 mm

P = kN

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

مقطع الفولاذ (القطر 30 mm والطول 300 mm وE = 200 GPa) ومقطع من البرونز (القطر 50 mm والطول 300 mm وE = 110 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 80 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ₂ في المقطع 2.

المقطع 1: الفولاذ, Ø30 mm, 300 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: البرونز, Ø50 mm, 300 mm, E = 110 GPaP = 80 kN

σ₂ = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت مدرَّج من النحاس الأصفر مثبَّت عند A. الجزء AB قطره 60 mm وطوله 1 m؛ والجزء BC قطره 50 mm وطوله 2,5 m. يؤثّر عزم التواء 1000 N·m عند الطرف الحر C. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

T = 1000 N·md₁ = 60 mm, L₁ = 1 md₂ = 50 mm, L₂ = 2,5 m

τ_max = MPa

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 75 kW عند 3000 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 75 kWN = 3000 rpmd_o = 80 mmd_i = 60 mm

τ_max = MPa

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 4 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mw = 5 kN/m من 0 إلى 5 mx = 4 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

55 kN @ 6 m20 kN @ 1 m15 kN/m, 0–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

لوح أبعاده 100 mm × 200 mm فيه ثقب دائري قطره 40 mm على خطه الرأسي المنصِّف، ومركزه على ارتفاع 120 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 100 mmh = 200 mmd = 40 mmمركز الثقب: y = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

لوح أبعاده 150 mm × 150 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 40 mm وارتفاعها 20 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 90 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة I_x حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.

b = 150 mmh = 150 mmالفتحة: 40 × 20 mmمركز الثقب: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

نقطة في جزء محمَّل فيها σₓ = 110 MPa و σᵧ = 0 MPa و τₓᵧ = −10 MPa (الشدّ موجب). أوجد أقصى إجهاد قص في المستوى τ_max.

σ_x = 110 MPaσ_y = 0 MPaτ_xy = −10 MPa

τ_max = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = 110 MPa، σᵧ = 40 MPa و τₓᵧ = 10 MPa (σ_z = 0). إجهاد خضوع المادة 355 MPa. أوجد معامل الأمان n ضد الخضوع وفق معيار تريسكا (أقصى إجهاد قص).

σ_x = 110 MPaσ_y = 40 MPaτ_xy = 10 MPaσ_Y = 355 MPa

n =

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P عند طرفه الحر. باستخدام التراكب، أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

P = 13 kNw = 6 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد b = 3,5 m من الركيزة B. أوجد الترخيم δ_mid عند منتصف البحر.

P = 12 kNb = 3,5 mL = 8 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 50 × 80 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 40 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 56,55 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 2827 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 300/(100000·2827) = 1,061 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,3/5,305 × 10⁻⁶ = 56549 N = 56,55 kN

الإجابة

P = 56,55 kN

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ₂ = 24,63 MPa

الصلابات

k₁ = 200000·706,9/300 = 471239 N/mm

k₂ = 110000·1963/300 = 719948 N/mm

حصة المقطع 2

F₂ = 80000·719948/1,191 × 10⁶ = 48352 N

الإجهاد

σ₂ = 48352/1963 = 24,63 MPa (ضغط)

الإجابة

σ₂ = 24,63 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 40,74 MPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

الإجهاد في كل جزء

T = 1000 N·m = 1 × 10⁶ N·mm

τ_AB = 16·1 × 10⁶/(π·60³) = 23,58 MPa

τ_BC = 16·1 × 10⁶/(π·50³) = 40,74 MPa

الإجابة

τ_max = 40,74 MPa

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 3,474 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 75000/314,2 = 238,7 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(80⁴ − 60⁴)/32 = 2,749 × 10⁶ mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 238732·40/2,749 × 10⁶ = 3,474 MPa

الإجابة

τ_max = 3,474 MPa

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 10 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 5·5·2,5

R_B = 62,5/5 = 12,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 12,5 = 12,5 kN

اقطع عند x = 4 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 12,5·4 − 5·4·2 = 10 kN·m

الإجابة

M_x = 10 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 4 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 17,5 kN, R₂ = 117,5 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 10, M_C = −15, M_D = −55, M_E = −110 kN·m, M_F = −55, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = −110 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 66 × 10⁶ mm⁴

المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل I_c = bh³/12 وللدائرة I_c = πd⁴/64.

المركز

ȳ = (20000·100 − 1257·120)/(20000 − 1257) = 98,66 mm

اللوح الكامل حول ȳ

100·200³/12 + 20000·1,341² = 66,7 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

π·40⁴/64 + 1257·21,34² = 0,698 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 66 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 66 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 41,97 × 10⁶ mm⁴

المركز

ȳ = (22500·75 − 800·90)/(22500 − 800) = 74,45 mm

اللوح الكامل حول ȳ

150·150³/12 + 22500·0,553² = 42,19 × 10⁶ mm⁴

الثقب حول ȳ

40·20³/12 + 800·15,55² = 0,2202 × 10⁶ mm⁴

اطرح

I_x = 41,97 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 41,97 × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_max = 55,9 MPa

نصف قطر دائرة مور

τ_max = R = √(((110 − 0)/2)² + −10²) = 55,9 MPa

الإجابة

τ_max = 55,9 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: n = 3,187

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σ_vM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σ_Y؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σ_Y/2.

الإجهادات الرئيسية

C = 75 MPa, R = 36,4 MPa

σ₁ = 111,4 MPa, σ₂ = 38,6 MPa, σ₃ = 0

تريسكا

σ_max − σ_min = 111,4 MPa

n = 355/111,4 = 3,187

الإجابة

n = 3,187

n > 1 يعني أن النقطة لا تخضع؛ وتريسكا أكثر تحفّظًا قليلًا من فون ميزس.

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 1,944 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 13000 N, w = 6 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(3EI) = 13000·2000³/(3·2,4 × 10¹³) = 1,444 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 6·2000⁴/(8·2,4 × 10¹³) = 0,5 mm

اجمعها

δ = 1,444 + 0,5 = 1,944 mm

الإجابة

δ = 1,944 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_mid = 77,72 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 12000 N, b = 3500 mm, L = 8000 mm

EI = 1,61 × 10¹² N·mm²

ترخيم المنتصف

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 12000·3500·(3·8000² − 4·3500²)/(48·1,61 × 10¹²) = 77,72 mm

الإجابة

δ_mid = 77,72 mm

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 23,03 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·5000 = 5000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/5000² = 23029 N = 23,03 kN

الإجابة

P_cr = 23,03 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 11,05 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/10 = 250

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/250² = 11,05 MPa

الإجابة

σ_cr = 11,05 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials