مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي
σ = F/A
الانفعال
ε = ΔL/L
قانون هوك
σ = E·ε
الاستطالة
ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري
εT = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص
τ = T·r/J
عمود مصمت
J = πd⁴/32
عمود مجوّف
J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء
φ = TL/(GJ)
القدرة
P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

  1. أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
  2. إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
  3. زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
  4. إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
مستطيل
I = bh³/12
نظرية المحور الموازي
I = Ic + A·d²
مقطع مركّب
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز
C = (σx + σy)/2
نصف القطر
R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
الإجهادات الرئيسية
σ1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي
tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
مستوى مائل
σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ

الطريقة

  1. احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
  2. احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
  3. الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
  4. الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر
δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز
δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي
δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم
δ = wL⁴/(8EI)
التراكب
δ = δ1 + δ2

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر
Pcr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال
K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج
σcr = Pcr/A
النحافة
λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة
Ø 20 mmالفولاذ3 mP = 25 kN

أوجد الانفعال المحوري ε في قضيب الفولاذ، بوحدة الميكرو انفعال (µε = 10⁻⁶).

P = 25 kNd = 20 mmL = 3 mE = 200 GPa
ε = µε
2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة
Ø 35 mmالفولاذ2 mØ 20 mmالألومنيوم1,5 mP = 70 kN

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 70 kNالجزء 1: Ø35 mm، 2 m، الفولاذ (E = 200 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 1,5 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)
δ = mm
3.التواء الأعمدةمتوسطة
d = 12 mmT = 75 N·m400 mmφ = 10,55°

في اختبار التواء، تُلوى عيّنة مصمتة قطرها 12 mm بعزم 75 N·m. يدور طرفا طول قياس مقداره 400 mm بزاوية 10,55° أحدهما بالنسبة إلى الآخر (المادة لا تزال مرنة). أوجد معامل القص G للمادة.

T = 75 N·md = 12 mmL = 400 mmφ = 10,55°
G = GPa
4.التواء الأعمدةصعبة
Tdo​ = 75 mm, di​ = 56 mm

عمود مجوّف ينقل 30 kW عند 1000 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τmax في العمود.

P = 30 kWN = 1000 rpmdo = 75 mmdi = 56 mm
τmax = MPa
5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
P1​ = 25 kNP2​ = 10 kNAB1,5 m2,5 m1 m

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملين مركّزين. أوجد أقصى عزم انحناء Mmax في الكمرة.

L = 5 mP1 = 25 kN عند 1,5 mP2 = 10 kN عند 4 m
Mmax = kN·m
6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
12 kN/m35 kN40 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

35 kN @ 0 m40 kN @ 6 m12 kN/m, 1–4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
1601026014xالأبعاد بالـ mm

أوجد عزم القصور الذاتي Ix لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

bf = 160 mmtf = 10 mmtw = 14 mmhw = 260 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
200250182701216xالأبعاد بالـ mm

مقطع I ملحوم له شفة علوية 200 × 18 mm، وجذع ارتفاعه 270 mm وسُمكه 16 mm، وشفة سفلية 250 × 12 mm (العرض × السُمك). أوجد عزم قصوره الذاتي Ix حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

الشفة العلوية: 200 × 18 mmالجذع: 16 × 270 mmالشفة السفلية: 250 × 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة
σx​ = 100σy​ = 40τxy​ = 30MPa

عند نقطة σₓ = 100 MPa، σᵧ = 40 MPa و τₓᵧ = 30 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 60° عكس عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σy′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.

σx = 100 MPaσy = 40 MPaτxy = 30 MPaθ = 60°
σy′ = MPa
10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة
σx​ = −60σy​ = −20τxy​ = 20MPa

نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = −60 MPa، σᵧ = −20 MPa و τₓᵧ = 20 MPa (σz = 0). أوجد الإجهاد المكافئ وفق فون ميزس σvM.

σx = −60 MPaσy = −20 MPaτxy = 20 MPa
σvM = MPa
11.ترخيم الكمرةمتوسطة
P = 14 kNABδ1,5 m2,5 m

كابولي طوله L مثبَّت عند A ويحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 1,5 m من A. أوجد الترخيم δB عند الطرف الحر B.

P = 14 kNa = 1,5 mL = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
12.ترخيم الكمرةصعبة
P = 55 kNAB2,5 m2,5 m

كابولي مسنود مثبَّت عند A ومرتكز ارتكازًا بسيطًا (مسنود) عند B. يحمل حملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. EI ثابت. أوجد مقدار عزم الانحناء MA عند الطرف المثبَّت.

L = 5 mP = 55 kN عند 2,5 m
MA = kN·m
13.انبعاج الأعمدةمتوسطة
PL = 2,5 md = 50 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 50 mm
Pcr = kN
14.انبعاج الأعمدةصعبة
PL = 6 md = 80 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σcr من صيغة أويلر.

L = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 80 mm
σcr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: ε = 397,9 µε

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ = P/A = 25·1000/314,2 = 79,58 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الفولاذ = 200 GPa = 200000 MPa.

ε = σ/E = 79,58/200000 = 0,0003979 = 397,9 µε

الإجابة

ε = 397,9 µε
2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 5,502 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A1 = π·35²/4 = 962,1 mm², A2 = π·20²/4 = 314,2 mm²
σ1 = 72,76 MPa
σ2 = 222,8 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ1 = σ1L1/E1 = 72,76·2000/200000 = 0,7276 mm
δ2 = σ2L2/E2 = 222,8·1500/70000 = 4,775 mm
δ = δ1 + δ2 = 5,502 mm

الإجابة

δ = 5,502 mm
3.التواء الأعمدة

الإجابة: G = 80,03 GPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي والزاوية

J = π·12⁴/32 = 2036 mm⁴
φ = 10,55·π/180 = 0,1841 rad

معامل القص

T = 75 N·m = 75000 N·mm
G = TL/(Jφ) = 75000·400/(2036·0,1841) = 80033 MPa
G = 80,03 GPa

الإجابة

G = 80,03 GPa

للمقارنة: الفولاذ ≈ 80 GPa، النحاس الأصفر ≈ 39 GPa، الألومنيوم ≈ 26 GPa.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τmax = 5,018 MPa

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1000/60 = 104,7 rad/s
T = P/ω = 30000/104,7 = 286,5 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(75⁴ − 56⁴)/32 = 2,141 × 10⁶ mm⁴

أقصى إجهاد قص

τmax = T·(do/2)/J = 286479·37,5/2,141 × 10⁶ = 5,018 MPa

الإجابة

τmax = 5,018 MPa
5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mmax = 29,25 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

ΣMA = 0: RB·5 = 25·1,5 + 10·4
RB = 77,5/5 = 15,5 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 15,5 = 19,5 kN

العزم تحت كل حمل

احتفظ بالجزء الواقع يسار كل حمل.

تحت P1: M = RA·1,5 = 19,5·1,5 = 29,25 kN·m
تحت P2: M = RB·1 = 15,5·1 = 15,5 kN·m

أكبر قيمة

Mmax = 29,25 kN·m (تحت P1)

الإجابة

Mmax = 29,25 kN·m
6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 4 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 38 kN, R2 = 73 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = −35, MC = −38, MD = −53, ME = −80 kN·m, MF = −40, MG = 0

الإجابة

علامة E: ME = −80 kN·m
7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 40,77 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: Af = 160·10 = 1600 mm², yf = 260 + 10/2 = 265 mm
الجذع: Aw = 14·260 = 3640 mm², yw = 260/2 = 130 mm

المركز

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1600·265 + 3640·130)/5240 = 171,2 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 160·10³/12 + 1600·(265 − 171,2)² = 1,408 × 10⁷ mm⁴
الجذع: 14·260³/12 + 3640·(130 − 171,2)² = 2,669 × 10⁷ mm⁴
Ix = 1,408 × 10⁷ + 2,669 × 10⁷ = 4,077 × 10⁷ mm⁴ = 40,77 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 40,77 × 10⁶ mm⁴
8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: Ix = 159,8 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى ثلاثة مستطيلات

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة العلوية: A = 3600 mm², y = 291 mm
الجذع: A = 4320 mm², y = 147 mm
الشفة السفلية: A = 3000 mm², y = 6 mm

المركز

ȳ = (3600·291 + 4320·147 + 3000·6)/10920 = 155,7 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة العلوية: 200·18³/12 + 3600·135,3² = 6,596 × 10⁷ mm⁴
الجذع: 16·270³/12 + 4320·8,736² = 2,657 × 10⁷ mm⁴
الشفة السفلية: 250·12³/12 + 3000·149,7² = 6,73 × 10⁷ mm⁴
Ix = 6,596 × 10⁷ + 2,657 × 10⁷ + 6,73 × 10⁷
Ix = 1,598 × 10⁸ mm⁴ = 159,8 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ix = 159,8 × 10⁶ mm⁴
9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σy′ = 59,02 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.

معادلة التحويل للوجه y′

σy′ = 70 − 30·(−0,5) − 30·0,866 = 59,02 MPa

تحقّق

مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.

σx′ = 80,98 MPa, σx′ + σy′ = 140 = σx + σy

الإجابة

σy′ = 59,02 MPa
10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σvM = 63,25 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σY؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σY/2.

στxyCσ1​σ2​

الإجهادات الرئيسية

C = −40 MPa, R = 28,28 MPa
σ1 = −11,72 MPa, σ2 = −68,28 MPa, σ3 = 0

فون ميزس

σvM = √((−11,72)² − (−11,72)·(−68,28) + (−68,28)²) = 63,25 MPa

الإجابة

σvM = 63,25 MPa
11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δB = 6,563 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 14000 N, a = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

الترخيم عند الطرف الحر

الترخيم عند الحمل زائد الميل عند الحمل مضروبًا في الطول المتبقي.

δP = Pa³/(3EI) = 1,875 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,001875 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 6,563 mm

الإجابة

δB = 6,563 mm
12.ترخيم الكمرة

الإجابة: MA = 51,56 kN·m

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). في الكمرة غير المحدّدة استاتيكيًا، أزل ركيزة زائدة واشترط أن يكون الترخيم هناك صفرًا (التوافق).

أزل الركيزة الساندة

بدون الركيزة الساندة تكون الكمرة كابوليًا. وكان طرفها الحر سيترخّم تحت الحمل.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

التوافق عند الركيزة الساندة

قوة الركيزة الساندة RB وحدها ترفع الطرف الحر بمقدار RBL³/(3EI). الركيزة الساندة تُبقي ترخيم B صفرًا، لذا يجب أن يلغي أحدهما الآخر. ويُختصر EI.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·55/16 = 17,19 kN

العزم عند الطرف المثبَّت

عزوم الأحمال وقوة الركيزة الساندة حول A.

MA = P·L/2 − RB·L = 137,5 − 85,94 = 51,56 kN·m

الإجابة

MA = 51,56 kN·m
13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: Pcr = 135,7 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·2500 = 1250 mm

الحمل الحرج

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1250² = 135652 N = 135,7 kN

الإجابة

Pcr = 135,7 kN
14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σcr = 87,73 MPa

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2,011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 0,5·6000 = 3000 mm
KL/r = 3000/20 = 150

الإجهاد الحرج

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/150² = 87,73 MPa

الإجابة

σcr = 87,73 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials