مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

أوجد استطالة δ قضيب الألومنيوم تحت الحمل المحوري.

P = 60 kNd = 25 mmL = 3 mE = 70 GPa

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد أكبر إجهاد عمودي σ_max في القضيب.

P = 65 kNالجزء 1: Ø40 mm، 1 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 2 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)

σ_max = MPa

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الألومنيوم مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 1000 N·md = 40 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 30 kW عند 1500 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 30 kWN = 1500 rpmd_o = 40 mmd_i = 32 mm

τ_max = MPa

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 2 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 4 mw = 10 kN/m من 0 إلى 4 mx = 2 m

M_x = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 1 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 4 mP = 40 kN عند 1 mw = 5 kN/m من 0 إلى 4 mx = 1 m

M_x = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع مجرى موضوع وجانبه المفتوح إلى الأعلى: لوح قاعدة عرضه 160 mm مع ساقين قائمتين، ارتفاعه الكلي 190 mm. سُمك القاعدة والساقين كلها 18 mm. أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b = 160 mmh = 190 mmt = 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 30 kN·m. أوجد مقدار إجهاد الانحناء σ_الأعلى عند الحافة العلوية.

b_f = 100 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 180 mmM = 30 kN·m

σ_الأعلى = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 40 MPa، σᵧ = 120 MPa و τₓᵧ = 50 MPa (الشد موجب). أوجد الزاوية θ_s، بين −90° و 90°، من المحور x إلى العمودي على المستوى الذي يبلغ عليه إجهاد القص قيمته الموجبة القصوى +R (القص موجب في اتجاه τₓᵧ نفسه).

σ_x = 40 MPaσ_y = 120 MPaτ_xy = 50 MPa

θ_s = °

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

خزان أسطواني رقيق الجدار قطره الداخلي 800 mm وسُمك جداره 6 mm يحتوي غازًا عند ضغط مقيس 0,5 MPa. وهو مصنوع من لوح ملحوم على طول درز حلزوني يميل بزاوية 20° عن محور الأسطوانة. أوجد الإجهاد العمودي σ_n المؤثّر عبر درز اللحام.

D = 800 mmt = 6 mmp = 0,5 MPaα = 20°

σ_n = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد ميل الكمرة θ_A عند الركيزة A، بالراديان.

w = 12 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 84 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

12.ترخيم الكمرةصعبة

كابولي مسنود مثبَّت عند A ومرتكز ارتكازًا بسيطًا (مسنود) عند B. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. EI ثابت. أوجد مقدار عزم الانحناء M_A عند الطرف المثبَّت.

L = 4 mw = 8 kN/m

M_A = kN·m

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 50 × 100 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 45 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 45 kNn = 2L = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 5,238 mm

قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).

الإجهاد

A = π·25²/4 = 490,9 mm²

σ = P/A = 60·1000/490,9 = 122,2 MPa

الانفعال (قانون هوك)

E for الألومنيوم = 70 GPa = 70000 MPa.

ε = σ/E = 122,2/70000 = 0,001746 = 1746 µε

الاستطالة

δ = ε·L = 0,001746·3000 mm = 5,238 mm

الإجابة

δ = 5,238 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: σ_max = 206,9 MPa

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 51,73 MPa

σ₂ = 206,9 MPa

أكبر إجهاد

الجزء الأرفع مساحته أصغر، لذا يحمل الإجهاد الأكبر.

σ_max = 206,9 MPa

الإجابة

σ_max = 206,9 MPa

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 21,92 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 1000·1000·2500/(26000·251327) = 0,3826 rad

φ = 0,3826·180/π = 21,92°

الإجابة

φ = 21,92°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 25,74 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·1500/60 = 157,1 rad/s

T = P/ω = 30000/157,1 = 191 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(40⁴ − 32⁴)/32 = 148384 mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 190986·20/148384 = 25,74 MPa

الإجابة

τ_max = 25,74 MPa

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 20 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·4·2

R_B = 80/4 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

اقطع عند x = 2 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 20·2 − 10·2·1 = 20 kN·m

الإجابة

M_x = 20 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 37,5 kN·m

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·1 + 5·4·2

R_B = 80/4 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 20 = 40 kN

اقطع عند x = 1 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 40·1 − 5·1·0,5 = 37,5 kN·m

الإجابة

M_x = 37,5 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 33,08 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلات

خذ القاعدة بكامل عرضها والساقين فوقها (بارتفاع h − t)، حتى لا يُحسب شيء مرتين.

القاعدة: A₁ = 160·18 = 2880 mm², y₁ = 9 mm

الساقان: A₂ = 2·18·172 = 6192 mm², y₂ = 18 + 172/2 = 104 mm

المركز

ȳ = (2880·9 + 6192·104)/9072 = 73,84 mm

نظرية المحور الموازي

القاعدة: 160·18³/12 + 2880·(9 − 73,84)² = 1,219 × 10⁷ mm⁴

الساقان: 2·18·172³/12 + 6192·(104 − 73,84)² = 2,09 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1,219 × 10⁷ + 2,09 × 10⁷

I_x = 3,308 × 10⁷ mm⁴ = 33,08 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 33,08 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأعلى = 79,76 MPa

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 100·30 = 3000 mm², y_f = 180 + 30/2 = 195 mm

الجذع: A_w = 18·180 = 3240 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3000·195 + 3240·90)/6240 = 140,5 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 100·30³/12 + 3000·(195 − 140,5)² = 9,142 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 18·180³/12 + 3240·(90 − 140,5)² = 1,7 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,142 × 10⁶ + 1,7 × 10⁷ = 2,615 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة العلوية h − ȳ عن المحور.

y = 210 − 140,5 = 69,52 mm

σ = M·y/I = 3 × 10⁷·69,52/2,615 × 10⁷ = 79,76 MPa

الإجابة

σ_الأعلى = 79,76 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: θ_s = 19,33 °

الزاوية على الدائرة

على دائرة مور تبعد نقطة القمة (+R) بـ 90° عن النقطة الرئيسية σ₁؛ وعلى العنصر يعادل ذلك 45°.

cos 2θ_s = 50/64,03 = 0,7809, sin 2θ_s = −(−40)/64,03 = 0,6247

2θ_s = atan2(40, 50) = 38,66°

الزاوية على العنصر

θ_s = 19,33°

تحقّق: θ_s − θ_p = 19,33 − 64,33 = −45°

الإجابة

θ_s = 19,33°

الزوايا الموجبة عكس عقارب الساعة.

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_n = 31,38 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. الأسطوانة الرقيقة الجدار: الإجهاد المحيطي σ_h = pr/t والإجهاد المحوري σ_a = pr/(2t)؛ وهما الإجهادان الرئيسيان في الجدار.

إجهادات الجدار

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 0,5·400/6 = 33,33 MPa

σ_a = pr/(2t) = 16,67 MPa

التحويل إلى الدرز

خذ x على امتداد المحور (σ_a) و y على امتداد المحيط (σ_h). العمودي على الدرز يصنع 90° − α مع المحور.

σ_n = 16,67·sin²20° + 33,33·cos²20° = 31,38 MPa

الإجابة

σ_n = 31,38 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: θ_A = 0,01837 rad

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). الميل θ = dv/dx هو التكامل الأول لـ M/(EI)؛ وبوحدات متّسقة يخرج بالراديان.

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 6000 mm

EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

ميل الطرف

θ_A = wL³/(24EI) = 12·6000³/(24·5,88 × 10¹²) = 0,01837 rad

الإجابة

θ_A = 0,01837 rad

أي 1,052°.

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: M_A = 16 kN·m

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). في الكمرة غير المحدّدة استاتيكيًا، أزل ركيزة زائدة واشترط أن يكون الترخيم هناك صفرًا (التوافق).

أزل الركيزة الساندة

بدون الركيزة الساندة تكون الكمرة كابوليًا. وكان طرفها الحر سيترخّم تحت الحمل.

δ_load = wL⁴/(8EI)

التوافق عند الركيزة الساندة

قوة الركيزة الساندة R_B وحدها ترفع الطرف الحر بمقدار R_BL³/(3EI). الركيزة الساندة تُبقي ترخيم B صفرًا، لذا يجب أن يلغي أحدهما الآخر. ويُختصر EI.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·8·4/8 = 12 kN

العزم عند الطرف المثبَّت

عزوم الأحمال وقوة الركيزة الساندة حول A.

M_A = wL²/2 − R_B·L = 64 − 48 = 16 kN·m

الإجابة

M_A = 16 kN·m

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 514 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1,042 × 10⁶ mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·1000 = 2000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1,042 × 10⁶/2000² = 514042 N = 514 kN

الإجابة

P_cr = 514 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 49,09 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2·45000 = 90000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·90000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 49,09 mm

الإجابة

d = 49,09 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 203,7، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials