مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب مصنوع من مقطع الفولاذ (القطر 30 mm والطول 600 mm وE = 200 GPa) موصول طرفًا بطرف بمقطع من البرونز (القطر 50 mm والطول 400 mm وE = 110 GPa). هو مثبت عند أحد طرفيه ومشدود عند الآخر. أوجد الحمل المحوري P الذي يستطيله بمقدار 0,25 mm إجمالًا.

المقطع 1: الفولاذ, Ø30 mm, 600 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: البرونز, Ø50 mm, 400 mm, E = 110 GPaδ = 0,25 mm

P = kN

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 100 kNالجزء 1: Ø40 mm، 2 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 1,5 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)

δ = mm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من الألومنيوم مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.

T = 100 N·md = 30 mmL = 2,5 mG = 26 GPa

φ = °

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مصمت من النحاس الأصفر قطره 40 mm مثبَّت في جدارين صلبين عند طرفيه A و B. يؤثّر عزم التواء 750 N·m عند C، على بعد 1 m من A و 2 m من B. أوجد زاوية دوران المقطع C φ_C بالدرجات.

d = 40 mmT₀ = 750 N·ma = 1 mb = 2 mG = 39 GPa

φ_C = °

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد قوة القص V_x عند المقطع x = 1 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 4 mw = 10 kN/m من 0 إلى 4 mx = 1 m

V_x = kN

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 6 mP = 55 kN عند 5 mw = 2 kN/m من 0 إلى 6 m

M_max = kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

أوجد عزم القصور الذاتي I_x لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

b_f = 220 mmt_f = 15 mmt_w = 8 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

مقطع I ملحوم له شفة علوية 110 × 20 mm، وجذع ارتفاعه 330 mm وسُمكه 12 mm، وشفة سفلية 270 × 16 mm (العرض × السُمك). أوجد عزم قصوره الذاتي I_x حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.

الشفة العلوية: 110 × 20 mmالجذع: 12 × 330 mmالشفة السفلية: 270 × 16 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 140 MPa، σᵧ = 30 MPa و τₓᵧ = −60 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 40° عكس عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σ_y′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.

σ_x = 140 MPaσ_y = 30 MPaτ_xy = −60 MPaθ = 40°

σ_y′ = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

خزان أسطواني رقيق الجدار قطره الداخلي 1000 mm وسُمك جداره 15 mm يحتوي غازًا عند ضغط مقيس 0,8 MPa. وهو مصنوع من لوح ملحوم على طول درز حلزوني يميل بزاوية 25° عن محور الأسطوانة. أوجد الإجهاد العمودي σ_n المؤثّر عبر درز اللحام.

D = 1000 mmt = 15 mmp = 0,8 MPaα = 25°

σ_n = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي طوله L مثبَّت عند A ويحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 1,5 m من A. أوجد الترخيم δ_B عند الطرف الحر B.

P = 28 kNa = 1,5 mL = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كابولي مسنود مثبَّت عند A ومرتكز ارتكازًا بسيطًا (مسنود) عند B. يحمل حملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. EI ثابت. أوجد ردّ الفعل R_B عند الركيزة الساندة.

L = 6 mP = 10 kN عند 3 m

R_B = kN

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 30 × 100 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: P = 41,01 kN

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A₁ = 706,9 mm², A₂ = 1963 mm²

المرونات

L₁/(E₁A₁) = 600/(200000·706,9) = 4,244 × 10⁻⁶ mm/N

L₂/(E₂A₂) = 400/(110000·1963) = 1,852 × 10⁻⁶ mm/N

الحمل

P = 0,25/6,096 × 10⁻⁶ = 41010 N = 41,01 kN

الإجابة

P = 41,01 kN

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 9,095 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·40²/4 = 1257 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 79,58 MPa

σ₂ = 318,3 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 79,58·2000/70000 = 2,274 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 318,3·1500/70000 = 6,821 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 9,095 mm

الإجابة

δ = 9,095 mm

3.التواء الأعمدة

الإجابة: φ = 6,928 °

عزم القصور القطبي

J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴

زاوية الالتواء

φ = TL/(GJ) = 100·1000·2500/(26000·79522) = 0,1209 rad

φ = 0,1209·180/π = 6,928°

الإجابة

φ = 6,928°

4.التواء الأعمدة

الإجابة: φ_C = 2,923 °

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω. عندما يكون الطرفان مثبَّتين، يعطي علم السكون وحده T_A + T_B = T₀ فقط؛ والمعادلة الثانية هي التوافق (تساوي التواء الجزأين عند المقطع المحمَّل).

الاتزان والتوافق

T_A + T_B = 750

T_A·a = T_B·b

T_A = 750·2/3 = 500 N·m

T_B = 750·1/3 = 250 N·m

دوران C

استخدم الجزء AC: إنه مثبَّت عند A ويحمل T_A.

J = π·40⁴/32 = 251327 mm⁴

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ_C = T_A·a/(GJ) = 500000·1000/(39000·251327) = 0,05101 rad = 2,923°

الإجابة

φ_C = 2,923°

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: V_x = 10 kN

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·4·2

R_B = 80/4 = 20 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 20 = 20 kN

اقطع عند x = 1 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

V = R_A − (كل الأحمال إلى الأسفل على يسار المقطع)

V_x = 20 − 10·1 = 10 kN

الإجابة

V_x = 10 kN

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 50,83 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 55·5 + 2·6·3

R_B = 311/6 = 51,83 kN

ΣF_y = 0: R_A = 67 − 51,83 = 15,17 kN

أين يكون V = 0؟

V(5⁻) = R_A − w·5 = 5,167 kN

V(5⁺) = 5,167 − 55 = −49,83 kN

يتغيّر القص في إشارته عند الحمل، لذا يقع الحد الأقصى تحت الحمل.

أقصى عزم

M_max = R_A·5 − w·5²/2 = 15,17·5 − 2·5²/2 = 50,83 kN·m

الإجابة

M_max = 50,83 kN·m

يقع عند x = 5 m من A.

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 29,01 × 10⁶ mm⁴

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 220·15 = 3300 mm², y_f = 240 + 15/2 = 247,5 mm

الجذع: A_w = 8·240 = 1920 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3300·247,5 + 1920·120)/5220 = 200,6 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 220·15³/12 + 3300·(247,5 − 200,6)² = 7,32 × 10⁶ mm⁴

الجذع: 8·240³/12 + 1920·(120 − 200,6)² = 2,169 × 10⁷ mm⁴

I_x = 7,32 × 10⁶ + 2,169 × 10⁷ = 2,901 × 10⁷ mm⁴ = 29,01 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 29,01 × 10⁶ mm⁴

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: I_x = 220,2 × 10⁶ mm⁴

قسّم إلى ثلاثة مستطيلات

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة العلوية: A = 2200 mm², y = 356 mm

الجذع: A = 3960 mm², y = 181 mm

الشفة السفلية: A = 4320 mm², y = 8 mm

المركز

ȳ = (2200·356 + 3960·181 + 4320·8)/10480 = 146,4 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة العلوية: 110·20³/12 + 2200·209,6² = 9,67 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 12·330³/12 + 3960·34,58² = 4,067 × 10⁷ mm⁴

الشفة السفلية: 270·16³/12 + 4320·138,4² = 8,287 × 10⁷ mm⁴

I_x = 9,67 × 10⁷ + 4,067 × 10⁷ + 8,287 × 10⁷

I_x = 2,202 × 10⁸ mm⁴ = 220,2 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_x = 220,2 × 10⁶ mm⁴

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_y′ = 134,5 MPa

معادلة التحويل للوجه y′

σ_y′ = 85 − 55·0,1736 − (−60)·0,9848 = 134,5 MPa

تحقّق

مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.

σ_x′ = 35,46 MPa, σ_x′ + σ_y′ = 170 = σ_x + σ_y

الإجابة

σ_y′ = 134,5 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_n = 24,29 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. الأسطوانة الرقيقة الجدار: الإجهاد المحيطي σ_h = pr/t والإجهاد المحوري σ_a = pr/(2t)؛ وهما الإجهادان الرئيسيان في الجدار.

إجهادات الجدار

r = 1000/2 = 500 mm

σ_h = pr/t = 0,8·500/15 = 26,67 MPa

σ_a = pr/(2t) = 13,33 MPa

التحويل إلى الدرز

خذ x على امتداد المحور (σ_a) و y على امتداد المحيط (σ_h). العمودي على الدرز يصنع 90° − α مع المحور.

σ_n = 13,33·sin²25° + 26,67·cos²25° = 24,29 MPa

الإجابة

σ_n = 24,29 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_B = 11,84 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 28000 N, a = 1500 mm, L = 2000 mm

EI = 3,99 × 10¹² N·mm²

الترخيم عند الطرف الحر

الترخيم عند الحمل زائد الميل عند الحمل مضروبًا في الطول المتبقي.

δ_P = Pa³/(3EI) = 7,895 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0,007895 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 11,84 mm

الإجابة

δ_B = 11,84 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: R_B = 3,125 kN

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). في الكمرة غير المحدّدة استاتيكيًا، أزل ركيزة زائدة واشترط أن يكون الترخيم هناك صفرًا (التوافق).

أزل الركيزة الساندة

بدون الركيزة الساندة تكون الكمرة كابوليًا. وكان طرفها الحر سيترخّم تحت الحمل.

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

التوافق عند الركيزة الساندة

قوة الركيزة الساندة R_B وحدها ترفع الطرف الحر بمقدار R_BL³/(3EI). الركيزة الساندة تُبقي ترخيم B صفرًا، لذا يجب أن يلغي أحدهما الآخر. ويُختصر EI.

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·10/16 = 3,125 kN

الإجابة

R_B = 3,125 kN

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 3,084 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·6000 = 12000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·225000/12000² = 3084 N = 3,084 kN

الإجابة

P_cr = 3,084 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 8,567 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 2·1500 = 3000 mm

KL/r = 3000/6,25 = 480

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/480² = 8,567 MPa

الإجابة

σ_cr = 8,567 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials