الإجهاد والانفعال المحوري
- الإجهاد العمودي
- σ = F/A
- الانفعال
- ε = ΔL/L
- قانون هوك
- σ = E·ε
- الاستطالة
- ΔL = FL/(EA)
- الانفعال الحراري
- εT = α·ΔT
مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
التواء الأعمدة
- إجهاد القص
- τ = T·r/J
- عمود مصمت
- J = πd⁴/32
- عمود مجوّف
- J = π(D⁴ − d⁴)/32
- زاوية الالتواء
- φ = TL/(GJ)
- القدرة
- P = T·ω = 2πnT/60
الطريقة
- أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
- إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
- زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
- إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.
قوة القص وعزم الانحناء
- القص والعزم
- V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
- إجهاد الانحناء
- σ = M·y/I
- مستطيل
- I = bh³/12
- معامل المقطع
- W = I/ymax
- بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
- Mmax = wL²/8
الطريقة
- أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
- اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
- قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
- لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.
المركز وعزم القصور الذاتي
- المركز
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- مستطيل
- I = bh³/12
- نظرية المحور الموازي
- I = Ic + A·d²
- مقطع مركّب
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
دائرة مور وتحويل الإجهاد
- المركز
- C = (σx + σy)/2
- نصف القطر
- R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)
- الإجهادات الرئيسية
- σ1,2 = C ± R
- الاتجاه الرئيسي
- tan 2θp = 2τxy/(σx − σy)
- مستوى مائل
- σθ = C + (σx − σy)/2·cos 2θ + τxy·sin 2θ
الطريقة
- احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
- احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
- الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
- الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).
ترخيم الكمرة
- حمل مركّز في منتصف البحر
- δ = PL³/(48EI)
- حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- كابولي، حمل طرفي
- δ = PL³/(3EI)
- كابولي، حمل منتظم
- δ = wL⁴/(8EI)
- التراكب
- δ = δ1 + δ2
انبعاج الأعمدة
- حمل أويلر
- Pcr = π²EI/(KL)²
- معامل الطول الفعّال
- K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
- الإجهاد الحرج
- σcr = Pcr/A
- النحافة
- λ = KL/r, r = √(I/A)
2مسائل تدريبية
1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة
أوجد استطالة δ قضيب الفولاذ تحت الحمل المحوري.
P = 110 kNd = 12 mmL = 0,5 mE = 200 GPa
δ = mm
2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة
مقطع الفولاذ (القطر 20 mm والطول 300 mm وE = 200 GPa) ومقطع من البرونز (القطر 30 mm والطول 500 mm وE = 110 GPa) موصولان طرفًا بطرف ومثبتان بين جدارين صلبين. يؤثر حمل محوري 40 kN عند الوصلة باتجاه المقطع 2. أوجد مقدار الإجهاد σ2 في المقطع 2.
المقطع 1: الفولاذ, Ø20 mm, 300 mm, E = 200 GPaالمقطع 2: البرونز, Ø30 mm, 500 mm, E = 110 GPaP = 40 kN
σ2 = MPa
3.التواء الأعمدةمتوسطة
عمود مصمت من الألومنيوم مثبَّت في الجدار ويُلوى بعزم T عند طرفه الحر. أوجد زاوية التواء φ الطرف الحر بالدرجات.
T = 750 N·md = 30 mmL = 0,8 mG = 26 GPa
φ = °
4.التواء الأعمدةصعبة
عمود مصمت من الفولاذ ينقل 20 kW بسرعة 1450 rpm. يجب ألّا يتجاوز إجهاد القص 40 MPa وألّا يتجاوز الالتواء 0,5° لكل m من الطول. أوجد أصغر قطر d يحقّق الحدّين كليهما.
P = 20 kWN = 1450 rpmτallow = 40 MPaθallow = 0,5°/mG = 80 GPa
d = mm
5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.
50 kN @ 4 m6 kN/m, 0–6 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 1,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.
L = 4 mP = 25 kN عند 1,5 mw = 6 kN/m من 0 إلى 4 mx = 1,5 m
Mx = kN·m
7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة
أوجد عزم القصور الذاتي Ix لمقطع T حول المحور الأفقي x المارّ بمركزه.
bf = 220 mmtf = 25 mmtw = 8 mmhw = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة
لوح أبعاده 150 mm × 300 mm فيه فتحة مستطيلة عرضها 40 mm وارتفاعها 20 mm، متمركزة على الخط الرأسي المنصِّف ومركزها على ارتفاع 210 mm فوق القاع. أوجد عزم القصور الذاتي للمساحة Ix حول المحور الأفقي المار بالمركز الهندسي.
b = 150 mmh = 300 mmالفتحة: 40 × 20 mmمركز الثقب: y = 210 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة
عند نقطة σₓ = 100 MPa، σᵧ = −70 MPa و τₓᵧ = 40 MPa (الشد موجب). يُدار العنصر 25° عكس عقارب الساعة. أوجد الإجهاد العمودي σy′ على أوجه العنصر المُدار العمودية على المحور المُدار y′.
σx = 100 MPaσy = −70 MPaτxy = 40 MPaθ = 25°
σy′ = MPa
10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة
نقطة في لوح رقيق في حالة إجهاد مستوٍ: σₓ = −60 MPa، σᵧ = 70 MPa و τₓᵧ = −30 MPa (σz = 0). أوجد الإجهاد المكافئ وفق فون ميزس σvM.
σx = −60 MPaσy = 70 MPaτxy = −30 MPa
σvM = MPa
11.ترخيم الكمرةمتوسطة
كابولي طوله L مثبَّت عند A ويحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 2 m من A. أوجد الترخيم δP تحت الحمل.
P = 13 kNa = 2 mL = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
12.ترخيم الكمرةصعبة
كابولي مسنود مثبَّت عند A ومرتكز ارتكازًا بسيطًا (مسنود) عند B. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. EI ثابت. أوجد مقدار عزم الانحناء MA عند الطرف المثبَّت.
L = 8 mw = 10 kN/m
MA = kN·m
13.انبعاج الأعمدةمتوسطة
عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.
L = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
14.انبعاج الأعمدةصعبة
عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 65 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.
P = 65 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)
d = mm
3المحاليل
1.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: δ = 2,432 mm
قانون هوك: في المدى المرن σ = E·ε. وبالجمع مع σ = P/A و ε = δ/L نحصل على δ = PL/(AE).
الإجهاد
A = π·12²/4 = 113,1 mm²
σ = P/A = 110·1000/113,1 = 972,6 MPa
الانفعال (قانون هوك)
E for الفولاذ = 200 GPa = 200000 MPa.
ε = σ/E = 972,6/200000 = 0,004863 = 4863 µε
الاستطالة
δ = ε·L = 0,004863·500 mm = 2,432 mm
الإجابة
δ = 2,432 mm
2.الإجهاد والانفعال المحوري
الإجابة: σ2 = 24,11 MPa
مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، Pi = P·EiAi/ΣEA، وσi = Ei·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.
الصلابات
k₁ = 200000·314,2/300 = 209440 N/mm
k₂ = 110000·706,9/500 = 155509 N/mm
حصة المقطع 2
F2 = 40000·155509/364948 = 17044 N
الإجهاد
σ2 = 17044/706,9 = 24,11 MPa (ضغط)
الإجابة
σ2 = 24,11 MPa
3.التواء الأعمدة
الإجابة: φ = 16,63 °
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
عزم القصور القطبي
J = π·30⁴/32 = 79522 mm⁴
زاوية الالتواء
φ = TL/(GJ) = 750·1000·800/(26000·79522) = 0,2902 rad
φ = 0,2902·180/π = 16,63°
الإجابة
φ = 16,63°
4.التواء الأعمدة
الإجابة: d = 37,23 mm
التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τmax = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(do⁴ − di⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.
العزم
ω = 2πN/60 = 2π·1450/60 = 151,8 rad/s
T = P/ω = 20000/151,8 = 131,7 N·m
القطر وفق المقاومة
T = 131,7 N·m = 131714 N·mm
dτ = ∛(16·131714/(π·40)) = 25,6 mm
القطر وفق الجساءة
θ = 0,5·π/180/1000 = 8,727 × 10⁻⁶ rad/mm
G = 80 GPa = 80000 MPa
dφ = (32·131714/(π·80000·8,727 × 10⁻⁶))1/4 = 37,23 mm
القطر الحاكم
يجب تحقيق الحدّين كليهما، لذا يحكم القطر الأكبر.
d = max(25,6, 37,23) = 37,23 mm
الإجابة
d = 37,23 mm
هنا تحكم الجساءة.
5.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: E (x = 4 m)
أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.
ردود أفعال الركائز
خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.
R1 = 34,67 kN, R2 = 51,33 kN
عزم الانحناء عند كل علامة
اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.
MA = 0, MB = 31,67, MC = 57,33, MD = 77, ME = 90,67 kN·m, MF = 48,33, MG = 0
الإجابة
علامة E: ME = 90,67 kN·m
6.قوة القص وعزم الانحناء
الإجابة: Mx = 34,69 kN·m
طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.
ردود أفعال الركائز
اتزان الكمرة كلها.
محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 25·1,5 + 6·4·2
RB = 85,5/4 = 21,38 kN
ΣFy = 0: RA = 49 − 21,38 = 27,63 kN
اقطع عند x = 1,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر
تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.
M = RA·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)
Mx = 27,63·1,5 − 6·1,5·0,75 = 34,69 kN·m
الإجابة
Mx = 34,69 kN·m
7.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: Ix = 5,735 × 10⁶ mm⁴
المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.
قسّم إلى مستطيلين
قِس كل y من الحافة السفلية.
الشفة: Af = 220·25 = 5500 mm², yf = 120 + 25/2 = 132,5 mm
الجذع: Aw = 8·120 = 960 mm², yw = 120/2 = 60 mm
المركز
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (5500·132,5 + 960·60)/6460 = 121,7 mm
نظرية المحور الموازي
الشفة: 220·25³/12 + 5500·(132,5 − 121,7)² = 924893 mm⁴
الجذع: 8·120³/12 + 960·(60 − 121,7)² = 4,81 × 10⁶ mm⁴
Ix = 924893 + 4,81 × 10⁶ = 5,735 × 10⁶ mm⁴ = 5,735 × 10⁶ mm⁴
الإجابة
Ix = 5,735 × 10⁶ mm⁴
8.المركز وعزم القصور الذاتي
الإجابة: Ix = 334,5 × 10⁶ mm⁴
المقاطع ذات الثقوب: عامل الثقب على أنه مساحة سالبة. المركز الهندسي هو ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)، حيث A₁ وy₁ للوح الكامل وA₂ وy₂ للثقب. ولعزم القصور الذاتي للمساحة حول المحور المار بالمركز الهندسي، استخدم نظرية المحاور المتوازية لكل جزء واطرح الثقب: I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)، حيث d هي المسافة من المركز الهندسي لكل جزء إلى المحور المار بـ ȳ. للمستطيل Ic = bh³/12 وللدائرة Ic = πd⁴/64.
المركز
ȳ = (45000·150 − 800·210)/(45000 − 800) = 148,9 mm
اللوح الكامل حول ȳ
150·300³/12 + 45000·1,086² = 337,6 × 10⁶ mm⁴
الثقب حول ȳ
40·20³/12 + 800·61,09² = 3,012 × 10⁶ mm⁴
اطرح
Ix = 334,5 × 10⁶ mm⁴
الإجابة
Ix = 334,5 × 10⁶ mm⁴
9.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: σy′ = −70,28 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
معادلة التحويل للوجه y′
σy′ = 15 − 85·0,6428 − 40·0,766 = −70,28 MPa
تحقّق
مجموع الإجهادات العمودية لا يتغيّر مع الدوران.
σx′ = 100,3 MPa, σx′ + σy′ = 30 = σx + σy
الإجابة
σy′ = −70,28 MPa
10.دائرة مور وتحويل الإجهاد
الإجابة: σvM = 124,1 MPa
تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. معايير الخضوع: يتنبّأ فون ميزس بالخضوع عندما يبلغ σvM = √(σ₁² − σ₁σ₂ + σ₂²) قيمة σY؛ وتريسكا عندما يبلغ أقصى إجهاد قص مطلق σY/2.
الإجهادات الرئيسية
C = 5 MPa, R = 71,59 MPa
σ1 = 76,59 MPa, σ2 = −66,59 MPa, σ3 = 0
فون ميزس
σvM = √(76,59² − 76,59·(−66,59) + (−66,59)²) = 124,1 MPa
الإجابة
σvM = 124,1 MPa
11.ترخيم الكمرة
الإجابة: δP = 1,444 mm
ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).
وحدات متّسقة
اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.
P = 13000 N, a = 2000 mm, L = 2500 mm
EI = 2,4 × 10¹³ N·mm²
الترخيم تحت الحمل
δP = Pa³/(3EI) = 13000·2000³/(3·2,4 × 10¹³) = 1,444 mm
الإجابة
δP = 1,444 mm
12.ترخيم الكمرة
الإجابة: MA = 80 kN·m
ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). في الكمرة غير المحدّدة استاتيكيًا، أزل ركيزة زائدة واشترط أن يكون الترخيم هناك صفرًا (التوافق).
أزل الركيزة الساندة
بدون الركيزة الساندة تكون الكمرة كابوليًا. وكان طرفها الحر سيترخّم تحت الحمل.
δload = wL⁴/(8EI)
التوافق عند الركيزة الساندة
قوة الركيزة الساندة RB وحدها ترفع الطرف الحر بمقدار RBL³/(3EI). الركيزة الساندة تُبقي ترخيم B صفرًا، لذا يجب أن يلغي أحدهما الآخر. ويُختصر EI.
RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·10·8/8 = 30 kN
العزم عند الطرف المثبَّت
عزوم الأحمال وقوة الركيزة الساندة حول A.
MA = wL²/2 − RB·L = 320 − 240 = 80 kN·m
الإجابة
MA = 80 kN·m
13.انبعاج الأعمدة
الإجابة: Pcr = 7,369 kN
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
أصغر عزم قصور ذاتي
ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.
Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴
الطول الفعّال
KL = 2·2500 = 5000 mm
الحمل الحرج
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/5000² = 7369 N = 7,369 kN
الإجابة
Pcr = 7,369 kN
14.انبعاج الأعمدة
الإجابة: d = 53,27 mm
انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.
الحمل الحرج المطلوب
Pcr = n·P = 3·65000 = 195000 N
KL = 1·2000 = 2000 mm
حلّ لإيجاد القطر
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·195000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 53,27 mm
الإجابة
d = 53,27 mm
تحقّق: النحافة KL/r تساوي 150,2، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.
ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials