مقاومة المواد: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و14 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإجهاد والانفعال المحوري

الإجهاد العمودي: σ = F/A
الانفعال: ε = ΔL/L
قانون هوك: σ = E·ε
الاستطالة: ΔL = FL/(EA)
الانفعال الحراري: ε_T = α·ΔT

التواء الأعمدة

إجهاد القص: τ = T·r/J
عمود مصمت: J = πd⁴/32
عمود مجوّف: J = π(D⁴ − d⁴)/32
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ)
القدرة: P = T·ω = 2πnT/60

الطريقة

أوجد عزم القصور القطبي للمساحة: J = πd⁴/32 لعمود مصمت.
إجهاد القص عند السطح: τ = T·r/J، حيث r نصف القطر الخارجي.
زاوية الالتواء: φ = TL/(GJ) بالراديان.
إذا أُعطيت القدرة، أوجد العزم أولًا من P = T·ω، حيث ω = 2πn/60.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

المركز وعزم القصور الذاتي

المركز: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
مستطيل: I = bh³/12
نظرية المحور الموازي: I = I_c + A·d²
مقطع مركّب: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

دائرة مور وتحويل الإجهاد

المركز: C = (σ_x + σ_y)/2
نصف القطر: R = √(((σ_x − σ_y)/2)² + τ_xy²)
الإجهادات الرئيسية: σ_1,2 = C ± R
الاتجاه الرئيسي: tan 2θ_p = 2τ_xy/(σ_x − σ_y)
مستوى مائل: σ_θ = C + (σ_x − σ_y)/2·cos 2θ + τ_xy·sin 2θ

الطريقة

احسب مركز دائرة مور: C = (σx + σy)/2.
احسب نصف القطر: R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²).
الإجهادان الرئيسيان هما C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R.
الزوايا على الدائرة ضعف الزوايا على العنصر: tan 2θp = 2τxy/(σx − σy).

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.الإجهاد والانفعال المحوريمتوسطة

قضيب من الفولاذ (القطر 40 mm وE = 200 GPa) داخل أنبوب من الألومنيوم (القطر الخارجي 120 mm والقطر الداخلي 50 mm وE = 70 GPa). طول كل منهما 800 mm، ويُضغطان معًا بين لوحين صلبين بقوة 80 kN. أوجد الانضغاط δ.

P = 80 kNالقضيب: Ø40 mm, E = 200 GPaالأنبوب: Ø120/Ø50 mm, E = 70 GPaL = 800 mm

δ = mm

2.الإجهاد والانفعال المحوريصعبة

القضيب المدرَّج مثبَّت في الجدار ومحمَّل عند طرفه الحر. أوجد الاستطالة الكلية δ.

P = 15 kNالجزء 1: Ø25 mm، 2 m، الألومنيوم (E = 70 GPa)الجزء 2: Ø20 mm، 1,5 m، الفولاذ (E = 200 GPa)

δ = mm

3.التواء الأعمدةمتوسطة

عمود مصمت من النحاس الأصفر طوله 2,5 m يحمل عزم التواء 100 N·m. يجب ألّا تتجاوز زاوية الالتواء بين طرفيه 1,5°. أوجد أصغر قطر d يحقّق هذا الحد.

T = 100 N·mL = 2,5 mG = 39 GPaφ_allow = 1,5°

d = mm

4.التواء الأعمدةصعبة

عمود مجوّف ينقل 30 kW عند 3000 rpm. أوجد أقصى إجهاد قص τ_max في العمود.

P = 30 kWN = 3000 rpmd_o = 40 mmd_i = 32 mm

τ_max = MPa

5.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1 m حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P₁ بين الركيزتين وحملًا مركّزًا P₂ عند C. أوجد عزم الانحناء M_B عند الركيزة B. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mP₁ = 40 kN عند 2 mP₂ = 55 kN عند 5 mركيزتان عند x = 0 و x = 4 m

M_B = kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

30 kN @ 0 m55 kN @ 6 m60 kN @ 3 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.المركز وعزم القصور الذاتيمتوسطة

مقطع مستطيل مجوّف (صندوقي) عرضه الخارجي B = 160 mm، وارتفاعه الخارجي H = 400 mm، وسُمك جداره المنتظم t = 14 mm. أوجد نصف قطر الدوران r حول المحور المركزي الأفقي.

B = 160 mmH = 400 mmt = 14 mm

r = mm

8.المركز وعزم القصور الذاتيصعبة

يُستخدم مقطع T ككمرة والشفة في الأعلى، ويحمل عزم انحناء موجبًا مقداره 40 kN·m. أوجد إجهاد الانحناء σ_الأسفل عند الحافة السفلية.

b_f = 120 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 300 mmM = 40 kN·m

σ_الأسفل = MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهادمتوسطة

عند نقطة σₓ = 60 MPa و σᵧ = −50 MPa. إلى أيّ حد يمكن أن يكبر إجهاد القص τ_xy (مقداره) قبل أن يبلغ أكبر إجهاد رئيسي 95 MPa؟

σ_x = 60 MPaσ_y = −50 MPaσ₁ = 95 MPa

τ_xy = MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهادصعبة

خزان أسطواني رقيق الجدار قطره الداخلي 800 mm وسُمك جداره 5 mm يحتوي غازًا عند ضغط مقيس 2 MPa. وهو مصنوع من لوح ملحوم على طول درز حلزوني يميل بزاوية 25° عن محور الأسطوانة. أوجد الإجهاد العمودي σ_n المؤثّر عبر درز اللحام.

D = 800 mmt = 5 mmp = 2 MPaα = 25°

σ_n = MPa

11.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δ_max عند منتصف البحر.

w = 20 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

12.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملين مركّزين متساويين P عند نقطتي الثلث (L/3 من كل ركيزة). باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 28 kNL = 4 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

13.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 80 mm

P_cr = kN

14.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 0,07067 mm

مادتان: على التوالي (الواحدة بعد الأخرى) يحمل كل مقطع القوة نفسها وتُجمع الاستطالات: δ = P·Σ L/(E·A). وعلى التوازي (جنبًا إلى جنب بين لوحين صلبين) ينضغط الجزآن بالمقدار نفسه، فتتساوى انفعالاتهما: الجزء الأكثر صلابة يأخذ حصة أكبر، P_i = P·E_iA_i/ΣEA، وσ_i = E_i·ε. القضيب المثبت بين جدارين صلبين مع حمل عند الوصلة غير محدد استاتيكيًا: يتقاسم المقطعان الحمل بنسبة صلابتيهما k = EA/L.

المساحات

A_r = π·40²/4 = 1257 mm²

A_t = π(120² − 50²)/4 = 9346 mm²

الصلابة المحورية المشتركة

ΣEA = 200·10³·1257 + 70·10³·9346 = 9,056 × 10⁸ N

الانضغاط

δ = 80000·800/9,056 × 10⁸ = 0,07067 mm

الإجابة

δ = 0,07067 mm

2.الإجهاد والانفعال المحوري

الإجابة: δ = 1,231 mm

العناصر المحمَّلة محوريًا: كل جزء منشوري يحقّق δ = PL/(AE). وللعناصر المتوالية تُجمع الاستطالات.

القوة نفسها في الجزأين

الطرف الحر يحمل P، لذا يحمل كل مقطع من القضيب القوة المحورية نفسها P. تتغيّر المساحات والمواد فقط.

A₁ = π·25²/4 = 490,9 mm², A₂ = π·20²/4 = 314,2 mm²

σ₁ = 30,56 MPa

σ₂ = 47,75 MPa

اجمع استطالات الأجزاء

δ₁ = σ₁L₁/E₁ = 30,56·2000/70000 = 0,8731 mm

δ₂ = σ₂L₂/E₂ = 47,75·1500/200000 = 0,3581 mm

δ = δ₁ + δ₂ = 1,231 mm

الإجابة

δ = 1,231 mm

3.التواء الأعمدة

الإجابة: d = 39,74 mm

التواء الأعمدة الدائرية: يزداد إجهاد القص خطيًا من الصفر في المركز إلى τ_max = T·r/J عند السطح، مع J = πd⁴/32 للعمود المصمت و J = π(d_o⁴ − d_i⁴)/32 للمجوّف. زاوية الالتواء φ = TL/(GJ) بالراديان. ترتبط القدرة والعزم بـ P = T·ω.

عزم القصور القطبي المطلوب

T = 100 N·m = 100000 N·mm

L = 2,5 m = 2500 mm

G = 39 GPa = 39000 MPa

φ = 1,5·π/180 = 0,02618 rad

J = TL/(Gφ) = 100000·2500/(39000·0,02618) = 244854 mm⁴

القطر

d = (32J/π)^1/4 = 39,74 mm

الإجابة

d = 39,74 mm

عمليًا تقرّب إلى المقاس القياسي التالي.

4.التواء الأعمدة

الإجابة: τ_max = 12,87 MPa

العزم

ω = 2πN/60 = 2π·3000/60 = 314,2 rad/s

T = P/ω = 30000/314,2 = 95,49 N·m

عزم القصور القطبي

J = π(40⁴ − 32⁴)/32 = 148384 mm⁴

أقصى إجهاد قص

τ_max = T·(d_o/2)/J = 95493·20/148384 = 12,87 MPa

الإجابة

τ_max = 12,87 MPa

5.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_B = −55 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها. حمل الجزء البارز يؤثّر أيضًا بعزم حول A.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 40·2 + 55·5

R_B = 355/4 = 88,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 88,75 = 6,25 kN

اقطع عند B واحتفظ بالجزء البارز

يؤثّر P₂ وحده على الجزء البارز، بذراع عزم a. وهو يحني الكمرة إلى الأعلى فوق الركيزة (تحدّب).

M_B = −P₂·a = −55·1 = −55 kN·m

الإجابة

M_B = −55 kN·m

6.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 4 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 23,33 kN, R₂ = 121,7 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = −30, M_C = −36,67, M_D = −43,33, M_E = −110 kN·m, M_F = −55, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = −110 kN·m

7.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: r = 138,8 mm

عزم القصور الذاتي: للمستطيل حول محوره المركزي I = bh³/12، وحول قاعدته bh³/3 (نظرية المحور الموازي I = I_c + A·d²). يُعالَج الثقب بطرح عزم قصوره I، بشرط أن يشترك الجزءان في المحور نفسه. معامل المقطع المرن S = I/c، حيث c هي المسافة إلى الليف الأبعد. نصف قطر الدوران r = √(I/A) هو المسافة التي لو تركّزت عندها المساحة كلها لأعطت I نفسه؛ ويُستخدم في انبعاج الأعمدة.

المساحة الصافية وعزم القصور الذاتي

b = 132 mm, h = 372 mm

A = BH − bh = 160·400 − 132·372 = 14896 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 2,871 × 10⁸ mm⁴

نصف قطر الدوران

r = √(I/A) = √(2,871 × 10⁸/14896) = 138,8 mm

الإجابة

r = 138,8 mm

8.المركز وعزم القصور الذاتي

الإجابة: σ_الأسفل = 93,9 MPa

المساحات المركّبة: قسّم المقطع إلى مستطيلات. المركز هو المتوسط الموزون بالمساحة ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ. عزم القصور الذاتي حول المحور المركزي يجمع bh³/12 لكل جزء وحدّ المحور الموازي A·d²، حيث d بعد مركز الجزء عن المركز الكلي. إجهاد الانحناء σ = M·y/I.

قسّم إلى مستطيلين

قِس كل y من الحافة السفلية.

الشفة: A_f = 120·15 = 1800 mm², y_f = 300 + 15/2 = 307,5 mm

الجذع: A_w = 20·300 = 6000 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

المركز

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1800·307,5 + 6000·150)/7800 = 186,3 mm

نظرية المحور الموازي

الشفة: 120·15³/12 + 1800·(307,5 − 186,3)² = 2,645 × 10⁷ mm⁴

الجذع: 20·300³/12 + 6000·(150 − 186,3)² = 5,293 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2,645 × 10⁷ + 5,293 × 10⁷ = 7,938 × 10⁷ mm⁴

إجهاد الانحناء

تبعد الحافة السفلية ȳ عن المحور.

y = 186,3 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·186,3/7,938 × 10⁷ = 93,9 MPa

الإجابة

σ_الأسفل = 93,9 MPa

9.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: τ_xy = 71,24 MPa

نصف القطر المطلوب

C = (60 + (−50))/2 = 5 MPa

R = σ₁ − C = 95 − 5 = 90 MPa

إجهاد القص

τ_xy = √(R² − ((σₓ − σᵧ)/2)²) = √(90² − 55²) = 71,24 MPa

الإجابة

τ_xy = 71,24 MPa

10.دائرة مور وتحويل الإجهاد

الإجابة: σ_n = 145,7 MPa

تحويل الإجهاد المستوي: على مستوى مُدار بزاوية θ، σ = (σₓ + σᵧ)/2 + (σₓ − σᵧ)/2·cos 2θ + τₓᵧ·sin 2θ. تُظهر دائرة مور جميع المستويات معًا: مركزها عند C = (σₓ + σᵧ)/2 ونصف قطرها R = √(((σₓ − σᵧ)/2)² + τₓᵧ²). الإجهادات الرئيسية هي C ± R، وأكبر إجهاد قص في المستوى هو R. الأسطوانة الرقيقة الجدار: الإجهاد المحيطي σ_h = pr/t والإجهاد المحوري σ_a = pr/(2t)؛ وهما الإجهادان الرئيسيان في الجدار.

إجهادات الجدار

r = 800/2 = 400 mm

σ_h = pr/t = 2·400/5 = 160 MPa

σ_a = pr/(2t) = 80 MPa

التحويل إلى الدرز

خذ x على امتداد المحور (σ_a) و y على امتداد المحيط (σ_h). العمودي على الدرز يصنع 90° − α مع المحور.

σ_n = 80·sin²25° + 160·cos²25° = 145,7 MPa

الإجابة

σ_n = 145,7 MPa

11.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 16,47 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

الترخيم

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·2000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 16,47 mm

الإجابة

δ_max = 16,47 mm

12.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 48,19 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 28000 N, L = 4000 mm

EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

حمل واحد عند L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm

δ₁ = 24,09 mm

اجمع الحملين

δ_max = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 48,19 mm

الإجابة

δ_max = 48,19 mm

13.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 441 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/3000² = 440978 N = 441 kN

الإجابة

P_cr = 441 kN

14.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 79,31 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/15 = 93,33

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/93,33² = 79,31 MPa

الإجابة

σ_cr = 79,31 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/mechanics-of-materials