استخدم كثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 2 للدالة f(x) = ln(1 + x) لتقريب f(0,5). أعطِ P₂(0,5).
f(x) = ln(1 + x)n = 2x = 0,5
P₂(0.5) =
5.المصفوفات والمحدداتمتوسطة
أوجد المحدد det A للمصفوفة A ذات 3×3 المعروضة.
A = [5 0 4; 1 −5 1; 3 −1 −5]
det A =
6.المصفوفات والمحدداتصعبة
حُلّ النظام −4x + 6y = −6 و −6x + y = −6. أوجد x.
−4x + 6y = −6−6x + y = −6
x =
7.المعادلات التفاضليةمتوسطة
كوب قهوة عند 83 °C تُرك في غرفة عند 19 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,1 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 21 min.
T0 = 83 °CTa = 19 °Ck = 0,1 min⁻¹t = 21 min
T = °C
8.المعادلات التفاضليةصعبة
حلّ y′ + y = 8e−3t مع y(0) = 3. أوجد y(1,5).
y′ + y = 8e−3ty(0) = 3
y(1.5) =
3المحاليل
1.الطرائق العددية
الإجابة: |E| = 0,01563
التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.
الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.
خطوات أويلر
y4 = 0
القيمة الدقيقة
y(2) = −0,0183156
الخطأ الكلي
|E| = |−0,0183156 − 0| = 0,01832
الرسم البياني
الإجابة
|E| = 0,01832
تنصيف h ينصّف تقريبًا خطأ طريقة أويلر.
3.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: C: Σ k/(k + 6)
التقارب: إذا لم تؤول الحدود إلى 0 فالمتسلسلة متباعدة (اختبار الحد النوني). Σ1/kᵖ تتقارب فقط عندما p > 1، و Σrᵏ فقط عندما |r| < 1. قارن متسلسلة بإحداهما عندما تسلك حدودها سلوكهما لـ k كبيرة. اختبار النسبة: L = lim |ak+1/ak|؛ اختبار الجذر: L = lim |ak|1/k. L < 1 تتقارب، L > 1 تتباعد، L = 1 لا يحسم شيئًا. متسلسلة القوى Σck(x − x₀)ᵏ تتقارب لـ |x − x₀| < R مع R = lim |ck/ck+1|؛ والمتسلسلة المتناوبة التي تتناقص حدودها إلى 0 تتقارب.
C: Σ k/(k + 6) → تؤول الحدود إلى 1 لا إلى 0: تتباعد باختبار الحد النوني.
D: Σ 1/(k² + 4) → أصغر من 1/k²، وهي متسلسلة p متقاربة: تتقارب بالمقارنة.
الجواب
C: Σ k/(k + 6)
الإجابة
C: Σ k/(k + 6)
4.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: P₂(0.5) = 0,375
كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.
كثيرة حدود ماكلورين
P₂(x) = x − 0,5x²
عوّض
P₂(0,5) = 0,5 − 0,125 = 0,375
الإجابة
P₂(0,5) = 0,375
القيمة الدقيقة هي f(0,5) = 0,405465؛ ويتناقص الخطأ 0,0304651 عند أخذ حدود أكثر أو نقطة أقرب إلى 0.
5.المصفوفات والمحددات
الإجابة: det A = 186
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
مصغّرات 2×2 للصف الأول
M₁₁ = 26, M₁₂ = −8, M₁₃ = 14
النشر بالمعاملات المرافقة
det A = 5·26 − 0·(−8) + 4·14 = 186
الإجابة
det A = 186
6.المصفوفات والمحددات
الإجابة: x = 0,9375
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
محدد مصفوفة المعاملات
det A = (−4)·1 − 6·(−6) = 32
استبدل عمود x
det Aₓ = (−6)·1 − 6·(−6) = 30
x = 30/32 = 0,9375
الإجابة
x = 0,9375
y = −0,375
7.المعادلات التفاضلية
الإجابة: T = 26,84 °C
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.
حلّ قانون التبريد
T(t) = 19 + 64·e−0,1t
عوّض t
T(21) = 19 + 64·0,1225 = 26,84 °C
الإجابة
T = 26,84 °C
8.المعادلات التفاضلية
الإجابة: y(1.5) = 1,517
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.