تُقرَّب f(x) = eˣ بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 4 عند x = 0,5. استخدم حد خطأ لاغرانج M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! مع M = e0,5 = 1,649 لإيجاد أكبر خطأ ممكن |R₄|.
f(x) = eˣn = 4x = 0,5M = 1,649
|R₄| =
5.المصفوفات والمحدداتمتوسطة
أوجد المحدد det A للمصفوفة A ذات 3×3 المعروضة.
A = [2 −3 5; 3 3 3; 5 −5 5]
det A =
6.المصفوفات والمحدداتصعبة
أوجد القيمة الذاتية الأكبر λ للمصفوفة A المعروضة.
A = [−1 −3; 7 9]
λ =
7.المعادلات التفاضليةمتوسطة
علبة مشروب غازي عند 3 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 24 °C. بعد 23 min تكون درجة حرارتها 21 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 3 °CTa = 24 °CT(23) = 21 °C
k = min⁻¹
8.المعادلات التفاضليةصعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 2y/x = 3x2 لـ x > 0، مع y(1) = 1. أوجد y(3).
y′ + 2y/x = 3x2y(1) = 1
y(3) =
3المحاليل
1.الطرائق العددية
الإجابة: T = 0,3205
التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.
ليس لهذا التكامل دالة أصلية أولية، وهذا هو بالضبط الوقت الذي تلزم فيه قاعدة عددية.
2.الطرائق العددية
الإجابة: y5 = 1,227
الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.
خطوات أويلر
y₁ = 2 + 0,2·(−1) = 1,8
y₂ = 1,8 + 0,2·(−0,819933) = 1,636013
y₃ = 1,636013 + 0,2·(−0,714952) = 1,493023
y₄ = 1,493023 + 0,2·(−0,667687) = 1,359485
y₅ = 1,359485 + 0,2·(−0,662779) = 1,22693
الرسم البياني
y5 = 1,227
الإجابة
y5 = 1,227
3.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: B: Σ (−1)ᵏ/k
التقارب: إذا لم تؤول الحدود إلى 0 فالمتسلسلة متباعدة (اختبار الحد النوني). Σ1/kᵖ تتقارب فقط عندما p > 1، و Σrᵏ فقط عندما |r| < 1. قارن متسلسلة بإحداهما عندما تسلك حدودها سلوكهما لـ k كبيرة. اختبار النسبة: L = lim |ak+1/ak|؛ اختبار الجذر: L = lim |ak|1/k. L < 1 تتقارب، L > 1 تتباعد، L = 1 لا يحسم شيئًا. متسلسلة القوى Σck(x − x₀)ᵏ تتقارب لـ |x − x₀| < R مع R = lim |ck/ck+1|؛ والمتسلسلة المتناوبة التي تتناقص حدودها إلى 0 تتقارب.
اختبر كل متسلسلة
A: Σ (k + 5)/k² → تسلك سلوك 1/k لـ k كبيرة: تتباعد بالمقارنة مع المتسلسلة التوافقية.
C: Σ k/(k + 9) → تؤول الحدود إلى 1 لا إلى 0: تتباعد باختبار الحد النوني.
D: Σ (3/2)ᵏ → هندسية مع r = 3/2 > 1: تنمو الحدود، فتتباعد.
الجواب
B: Σ (−1)ᵏ/k
الإجابة
B: Σ (−1)ᵏ/k
4.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: |R₄| = 0,0004294
كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.
حد المشتقة
M = e0,5 = 1,649
حد لاغرانج
|R₄| ≤ 1,649·0,5⁵/5! = 0,0004294
الإجابة
|R₄| = 0,0004294
الخطأ الحقيقي أصغر: |f(0,5) − P₄(0,5)| = 0,0002838.
5.المصفوفات والمحددات
الإجابة: det A = −90
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
مصغّرات 2×2 للصف الأول
M₁₁ = 30, M₁₂ = 0, M₁₃ = −30
النشر بالمعاملات المرافقة
det A = 2·30 − (−3)·0 + 5·(−30) = −90
الإجابة
det A = −90
6.المصفوفات والمحددات
الإجابة: λ = 6
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
المعادلة المميزة
λ² − (8)λ + (12) = 0
الحل
λ = (8 ± √(16))/2 → λ = 2, 6
λ = 6
الإجابة
λ = 6
7.المعادلات التفاضلية
الإجابة: k = 0,0846 min⁻¹
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.
نسبة فروق درجات الحرارة
e−23k = -3/-21
حلّ لإيجاد k
k = ln(-21/-3)/23 = 0,0846 min⁻¹
الإجابة
k = 0,0846 min⁻¹
8.المعادلات التفاضلية
الإجابة: y(3) = 16,24
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.