تُقرَّب f(x) = sin x عند x = 0,5 بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة n. مع حد لاغرانج M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! و M = 1، جد أصغر درجة n تضمن خطأً أقل من 0,0001.
f(x) = sin xx = 0,5M = 1ε = 0,0001
n =
5.المصفوفات والمحدداتمتوسطة
أوجد المحدد det A للمصفوفة A ذات 3×3 المعروضة.
A = [−4 0 1; 2 −5 −5; 0 5 2]
det A =
6.المصفوفات والمحدداتصعبة
أوجد القيمة الذاتية الأكبر λ للمصفوفة A المعروضة.
A = [−2 1; 1 −2]
λ =
7.المعادلات التفاضليةمتوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 400 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 29 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,01 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 32 min.
T0 = 400 °CTa = 29 °Ck = 0,01 min⁻¹t = 32 min
T = °C
8.المعادلات التفاضليةصعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 4,25y = 8,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + y′ + 4,25y = 8,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
3المحاليل
1.الطرائق العددية
الإجابة: T = 0,7451
التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.
ليس لهذا التكامل دالة أصلية أولية، وهذا هو بالضبط الوقت الذي تلزم فيه قاعدة عددية.
2.الطرائق العددية
الإجابة: y4 = 0,1307
الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.
خطوات أويلر
y₁ = −1 + 0,2·(2) = −0,6
y₂ = −0,6 + 0,2·(1,580067) = −0,283987
y₃ = −0,283987 + 0,2·(1,205048) = −0,0429771
y₄ = −0,0429771 + 0,2·(0,868313) = 0,130685
الرسم البياني
y4 = 0,1307
الإجابة
y4 = 0,1307
3.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: B: Σ (5/3)ᵏ
التقارب: إذا لم تؤول الحدود إلى 0 فالمتسلسلة متباعدة (اختبار الحد النوني). Σ1/kᵖ تتقارب فقط عندما p > 1، و Σrᵏ فقط عندما |r| < 1. قارن متسلسلة بإحداهما عندما تسلك حدودها سلوكهما لـ k كبيرة. اختبار النسبة: L = lim |ak+1/ak|؛ اختبار الجذر: L = lim |ak|1/k. L < 1 تتقارب، L > 1 تتباعد، L = 1 لا يحسم شيئًا. متسلسلة القوى Σck(x − x₀)ᵏ تتقارب لـ |x − x₀| < R مع R = lim |ck/ck+1|؛ والمتسلسلة المتناوبة التي تتناقص حدودها إلى 0 تتقارب.
B: Σ (5/3)ᵏ → هندسية مع r = 5/3 > 1: تنمو الحدود، فتتباعد.
C: Σ 1/(k(k + 2)) → أصغر من 1/k²: تتقارب بالمقارنة.
D: Σ (2/3)ᵏ → هندسية مع r = 2/3، |r| < 1: تتقارب.
الجواب
B: Σ (5/3)ᵏ
الإجابة
B: Σ (5/3)ᵏ
4.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: n = 5
كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.
الحدود لقيم n متزايدة
n = 4: 0,0002604 ≥ 0,0001
n = 5: 2,17 × 10⁻⁵ < 0,0001
أصغر درجة
n = 5
الإجابة
n = 5
5.المصفوفات والمحددات
الإجابة: det A = −50
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
مصغّرات 2×2 للصف الأول
M₁₁ = 15, M₁₂ = 4, M₁₃ = 10
النشر بالمعاملات المرافقة
det A = (−4)·15 − 0·4 + 1·10 = −50
الإجابة
det A = −50
6.المصفوفات والمحددات
الإجابة: λ = −1
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
المعادلة المميزة
λ² − (−4)λ + (3) = 0
الحل
λ = (−4 ± √(4))/2 → λ = −3, −1
λ = −1
الإجابة
λ = −1
7.المعادلات التفاضلية
الإجابة: T = 298,4 °C
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.
حلّ قانون التبريد
T(t) = 29 + 371·e−0,01t
عوّض t
T(32) = 29 + 371·0,7261 = 298,4 °C
الإجابة
T = 298,4 °C
8.المعادلات التفاضلية
الإجابة: ymax = 2,912
المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = ert: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·er₁t + B·er₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·ert (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 تكون ωn التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.