استخدم طريقة أويلر مع h = 0,5 للمسألة y′ = 1,5y، y(0) = −1 لتقدير y4 ≈ y(2).
y′ = 1,5yy(0) = −1h = 0,5
y4 =
3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة
تتقارب متسلسلة القوى Σk=1∞ (1/2)ᵏ·(x − 3)ᵏ/(k + 1) على مجال حول x₀ = 3. جد الطرف الأيمن x لذلك المجال.
Σ (1/2)ᵏ·(x − 3)ᵏ/(k + 1)x₀ = 3
x =
4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة
جد المعامل c₂ لـ (x − 5)² في متسلسلة تايلور للدالة f(x) = 1/x حول a = 5.
f(x) = 1/xa = 5k = 2
c₂ =
5.المصفوفات والمحدداتمتوسطة
لتكن C = AB للمصفوفتين المعروضتين. أوجد العنصر c11 (الصف 1، العمود 1).
A = [1 0; 1 −6]B = [5 0; −1 2]
c11 =
6.المصفوفات والمحدداتصعبة
حُلّ النظام 6x + 6y = −8 و −6x + 6y = 12. أوجد x.
6x + 6y = −8−6x + 6y = 12
x =
7.المعادلات التفاضليةمتوسطة
كوب قهوة عند 83 °C تُرك في غرفة عند 23 °C. بعد 11 min تكون درجة حرارتها 45 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 83 °CTa = 23 °CT(11) = 45 °C
k = min⁻¹
8.المعادلات التفاضليةصعبة
حلّ y′ + 3y = 5e−2t مع y(0) = 1. أوجد y(0,5).
y′ + 3y = 5e−2ty(0) = 1
y(0.5) =
3المحاليل
1.الطرائق العددية
الإجابة: |E| = 0,03565
التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.
القيمة الدقيقة
I = 1,718282
قاعدة شبه المنحرف
T = (0,5/2)·(1 + 2·1,648721 + 2,718282) = 1,753931
الخطأ
|E| = |1,753931 − 1,718282| = 0,03565
الإجابة
|E| = 0,03565
الخطأ النسبي: 2,075%.
2.الطرائق العددية
الإجابة: y4 = −9,379
الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.
خطوات أويلر
y₁ = −1 + 0,5·(−1,5) = −1,75
y₂ = −1,75 + 0,5·(−2,625) = −3,0625
y₃ = −3,0625 + 0,5·(−4,59375) = −5,359375
y₄ = −5,359375 + 0,5·(−8,039063) = −9,378906
الرسم البياني
y4 = −9,379
الإجابة
y4 = −9,379
القيمة الدقيقة هي y(2) = −20,085537.
3.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: x = 5
التقارب: إذا لم تؤول الحدود إلى 0 فالمتسلسلة متباعدة (اختبار الحد النوني). Σ1/kᵖ تتقارب فقط عندما p > 1، و Σrᵏ فقط عندما |r| < 1. قارن متسلسلة بإحداهما عندما تسلك حدودها سلوكهما لـ k كبيرة. اختبار النسبة: L = lim |ak+1/ak|؛ اختبار الجذر: L = lim |ak|1/k. L < 1 تتقارب، L > 1 تتباعد، L = 1 لا يحسم شيئًا. متسلسلة القوى Σck(x − x₀)ᵏ تتقارب لـ |x − x₀| < R مع R = lim |ck/ck+1|؛ والمتسلسلة المتناوبة التي تتناقص حدودها إلى 0 تتقارب.
المعاملات
ck/ck+1 = (1/(1/2))·(k + 2)/(k + 1) → 2
نصف القطر
R = 2
الفترة
1 < x < 5
x = 5
الإجابة
x = 5
لا يقول اختبار النسبة شيئًا عند الطرفين؛ ويجب فحصهما على حدة.
4.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: c₂ = 0,008
كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.
المشتقة f⁽²⁾
f⁽²⁾(x) = 2/x³
المعامل
c₂ = 2/(5³·2) = 0,008
c₂ = 0,008
الإجابة
c₂ = 0,008
5.المصفوفات والمحددات
الإجابة: c11 = 5
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
صف في عمود
c11 = 1·5 + 0·(−1) = 5
الإجابة
c11 = 5
6.المصفوفات والمحددات
الإجابة: x = −1,667
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
محدد مصفوفة المعاملات
det A = 6·6 − 6·(−6) = 72
استبدل عمود x
det Aₓ = (−8)·6 − 6·12 = −120
x = −120/72 = −1,667
الإجابة
x = −1,667
y = 0,3333
7.المعادلات التفاضلية
الإجابة: k = 0,09121 min⁻¹
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.
نسبة فروق درجات الحرارة
e−11k = 22/60
حلّ لإيجاد k
k = ln(60/22)/11 = 0,09121 min⁻¹
الإجابة
k = 0,09121 min⁻¹
8.المعادلات التفاضلية
الإجابة: y(0.5) = 0,9469
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.