الطرائق العددية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الطرائق العددية

التنصيف: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
نيوتن–رافسون: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
الاستيفاء الخطي: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
حد خطأ شبه المنحرف: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
أويلر: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
هوين: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

الطريقة

لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

المصفوفات والمحددات

محدد 2×2: det = ad − bc
معكوس مصفوفة 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
المنتج: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
القيم الذاتية: det(A − λI) = 0
قاعدة كرامر: x_i = det(A_i)/det(A)

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.الطرائق العدديةمتوسطة

قرّب ∫₀² sin x dx بقاعدة شبه المنحرف، n = 2، وقارنه بالقيمة الدقيقة. جد الخطأ المطلق |E| = |T − I|.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]n = 2

|E| =

2.الطرائق العدديةصعبة

حلّ y′ = −2ty، y(0) = 3 بطريقة أويلر وبخطوة h = 0,5 حتى t = 1,5. الحل الدقيق هو y = y₀e^−t². جد الخطأ الكلي |E| = |y(1,5) − y₃|.

y′ = −2tyy(0) = 3h = 0,5

|E| =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

متسلسلة واحدة بالضبط من المتسلسلات الأربع تتقارب. انقر عليها.

A: Σ (3k + 1)/(k + 2)B: Σ 1/(k(k + 1))C: Σ (4/3)ᵏD: Σ 1/k

1A: Σ (3k + 1)/(k + 2)
2B: Σ 1/(k(k + 1))
3C: Σ (4/3)ᵏ
4D: Σ 1/k

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

تُقرَّب f(x) = cos x بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 4 عند x = −0,5. استخدم حد خطأ لاغرانج M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! مع M = 1 لإيجاد أكبر خطأ ممكن |R₄|.

f(x) = cos xn = 4x = −0,5M = 1

|R₄| =

5.المصفوفات والمحدداتمتوسطة

لتكن C = AB للمصفوفتين المعروضتين. أوجد العنصر c₂₁ (الصف 2، العمود 1).

A = [4 −5; 6 3]B = [−5 5; 4 4]

c₂₁ =

6.المصفوفات والمحدداتصعبة

حُلّ النظام 6x + 4y = 9 و 4x − y = 1. أوجد x.

6x + 4y = 94x − y = 1

x =

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

كوب قهوة عند 82 °C تُرك في غرفة عند 19 °C. بعد 22 min تكون درجة حرارتها 45 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 27 °C؟

T₀ = 82 °CT_a = 19 °CT(22) = 45 °CT = 27 °C

t = min

8.المعادلات التفاضليةصعبة

حلّ y′ + y = 6e^−3t مع y(0) = 0. أوجد y(2).

y′ + y = 6e^−3ty(0) = 0

y(2) =

3المحاليل

1.الطرائق العددية

الإجابة: |E| = 0,12

التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.

القيمة الدقيقة

I = 1,416147

قاعدة شبه المنحرف

T = (1/2)·(0 + 2·0,841471 + 0,909297) = 1,29612

الخطأ

|E| = |1,29612 − 1,416147| = 0,12

الإجابة

|E| = 0,12

الخطأ النسبي: 8,476%.

2.الطرائق العددية

الإجابة: |E| = 0,3162

الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.

خطوات أويلر

y₃ = 0

القيمة الدقيقة

y(1,5) = 0,316198

الخطأ الكلي

|E| = |0,316198 − 0| = 0,3162

الرسم البياني

الإجابة

|E| = 0,3162

تنصيف h ينصّف تقريبًا خطأ طريقة أويلر.

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: B: Σ 1/(k(k + 1))

اختبر كل متسلسلة

A: Σ (3k + 1)/(k + 2) → تؤول الحدود إلى 3 لا إلى 0: تتباعد باختبار الحد النوني.

B: Σ 1/(k(k + 1)) → أصغر من 1/k²: تتقارب بالمقارنة.

C: Σ (4/3)ᵏ → هندسية مع r = 4/3 > 1: تنمو الحدود، فتتباعد.

D: Σ 1/k → مضاعف للمتسلسلة التوافقية (p = 1): تتباعد.

الجواب

B: Σ 1/(k(k + 1))

الإجابة

B: Σ 1/(k(k + 1))

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: |R₄| = 0,0002604

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

حد المشتقة

M = 1

حد لاغرانج

|R₄| ≤ 1·0,5⁵/5! = 0,0002604

الإجابة

|R₄| = 0,0002604

الخطأ الحقيقي أصغر: |f(−0,5) − P₄(−0,5)| = 2,16 × 10⁻⁵.

5.المصفوفات والمحددات

الإجابة: c₂₁ = −18

المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.

صف في عمود

c₂₁ = 6·(−5) + 3·4 = −18

الإجابة

c₂₁ = −18

6.المصفوفات والمحددات

الإجابة: x = 0,5909

محدد مصفوفة المعاملات

det A = 6·(−1) − 4·4 = −22

استبدل عمود x

det Aₓ = 9·(−1) − 4·1 = −13

x = −13/(−22) = 0,5909

الإجابة

x = 0,5909

y = 1,364

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: t = 51,3 min

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

ثابت التبريد

k = ln(63/26)/22 = 0,04023 min⁻¹

الزمن لبلوغ القيمة المستهدفة

t = ln(63/8)/0,04023 = 51,3 min

الإجابة

t = 51,3 min

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(2) = 0,3986

عامل التكامل

μ = e^t

(e^ty)′ = 6e^−2t

الحل العام

y = 6/(−2)·e^−3t + C·e^−t = −3·e^−3t + C·e^−t

الشرط الابتدائي

0 = −3 + C → C = 3

احسب

y(2) = −3·0,002479 + 3·0,1353 = 0,3986

الإجابة

y(2) = 0,3986

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods