استخدم طريقة أويلر مع h = 0,5 للمسألة y′ = e−ty، y(0) = 0,5 لتقدير y4 ≈ y(2).
y′ = e−tyy(0) = 0,5h = 0,5
y4 =
3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة
جد نصف قطر التقارب R لمتسلسلة القوى Σk=1∞ 9ᵏx²ᵏ/k.
Σ 9ᵏx²ᵏ/kx₀ = 0
R =
4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة
تُقرَّب f(x) = eˣ عند x = 2 بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة n. مع حد لاغرانج M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! و M = 8، جد أصغر درجة n تضمن خطأً أقل من 0,001.
f(x) = eˣx = 2M = 8ε = 0,001
n =
5.المصفوفات والمحدداتمتوسطة
أوجد المحدد det A للمصفوفة A ذات 3×3 المعروضة.
A = [5 1 −3; −3 −5 −1; −5 4 0]
det A =
6.المصفوفات والمحدداتصعبة
أوجد القيمة الذاتية الأكبر λ للمصفوفة A المعروضة.
A = [2 −2; 2 −3]
λ =
7.المعادلات التفاضليةمتوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 480 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 26 °C. بعد 42 min تكون درجة حرارتها 111 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 60 °C؟
T0 = 480 °CTa = 26 °CT(42) = 111 °CT = 60 °C
t = min
8.المعادلات التفاضليةصعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 18,25y = 36,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 3y′ + 18,25y = 36,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
3المحاليل
1.الطرائق العددية
الإجابة: |E| = 0,0418
التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.
الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.
خطوات أويلر
y₁ = 0,5 + 0,5·(1) = 1
y₂ = 1 + 0,5·(0,606531) = 1,303265
y₃ = 1,303265 + 0,5·(0,271643) = 1,439087
y₄ = 1,439087 + 0,5·(0,115483) = 1,496829
الرسم البياني
y4 = 1,497
الإجابة
y4 = 1,497
3.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: R = 0,3333
التقارب: إذا لم تؤول الحدود إلى 0 فالمتسلسلة متباعدة (اختبار الحد النوني). Σ1/kᵖ تتقارب فقط عندما p > 1، و Σrᵏ فقط عندما |r| < 1. قارن متسلسلة بإحداهما عندما تسلك حدودها سلوكهما لـ k كبيرة. اختبار النسبة: L = lim |ak+1/ak|؛ اختبار الجذر: L = lim |ak|1/k. L < 1 تتقارب، L > 1 تتباعد، L = 1 لا يحسم شيئًا. متسلسلة القوى Σck(x − x₀)ᵏ تتقارب لـ |x − x₀| < R مع R = lim |ck/ck+1|؛ والمتسلسلة المتناوبة التي تتناقص حدودها إلى 0 تتقارب.
المعاملات
المتسلسلة بدلالة x²: تتقارب عندما 9·x² < 1، أي |x| < 1/3.
نصف القطر
R = 0,3333
الإجابة
R = 0,3333
لا يقول اختبار النسبة شيئًا عند الطرفين؛ ويجب فحصهما على حدة.
4.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: n = 10
كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.
الحدود لقيم n متزايدة
n = 9: 0,002257 ≥ 0,001
n = 10: 0,0004105 < 0,001
أصغر درجة
n = 10
الإجابة
n = 10
5.المصفوفات والمحددات
الإجابة: det A = 136
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
مصغّرات 2×2 للصف الأول
M₁₁ = 4, M₁₂ = −5, M₁₃ = −37
النشر بالمعاملات المرافقة
det A = 5·4 − 1·(−5) + (−3)·(−37) = 136
الإجابة
det A = 136
6.المصفوفات والمحددات
الإجابة: λ = 1
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
المعادلة المميزة
λ² − (−1)λ + (−2) = 0
الحل
λ = (−1 ± √(9))/2 → λ = −2, 1
λ = 1
الإجابة
λ = 1
7.المعادلات التفاضلية
الإجابة: t = 64,97 min
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.
ثابت التبريد
k = ln(454/85)/42 = 0,03989 min⁻¹
الزمن لبلوغ القيمة المستهدفة
t = ln(454/34)/0,03989 = 64,97 min
الإجابة
t = 64,97 min
8.المعادلات التفاضلية
الإجابة: ymax = 2,616
المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = ert: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·er₁t + B·er₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·ert (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 تكون ωn التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.