الطرائق العددية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الطرائق العددية

التنصيف: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
نيوتن–رافسون: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
الاستيفاء الخطي: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
حد خطأ شبه المنحرف: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
أويلر: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
هوين: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

الطريقة

لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

المصفوفات والمحددات

محدد 2×2: det = ad − bc
معكوس مصفوفة 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
المنتج: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
القيم الذاتية: det(A − λI) = 0
قاعدة كرامر: x_i = det(A_i)/det(A)

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.الطرائق العدديةمتوسطة

قرّب ∫₀¹ eˣ dx بقاعدة شبه المنحرف، n = 4، وقارنه بالقيمة الدقيقة. جد الخطأ المطلق |E| = |T − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 1]n = 4

|E| =

2.الطرائق العدديةصعبة

استخدم طريقة هوين (أويلر المحسّنة) مع h = 0,25 للمسألة y′ = t² + y²، y(0) = 0 لتقدير y₃ ≈ y(0,75).

y′ = t² + y²y(0) = 0h = 0,25

y₃ =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

جد نصف قطر التقارب R لمتسلسلة القوى Σ_k=1^∞ 9ᵏx²ᵏ/k.

Σ 9ᵏx²ᵏ/kx₀ = 0

R =

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

تُقرَّب f(x) = eˣ عند x = 0,5 بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة n. مع حد لاغرانج M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! و M = 2، جد أصغر درجة n تضمن خطأً أقل من 1 × 10⁻⁵.

f(x) = eˣx = 0,5M = 2ε = 1 × 10⁻⁵

n =

5.المصفوفات والمحدداتمتوسطة

لتكن C = AB للمصفوفتين المعروضتين. أوجد العنصر c₂₁ (الصف 2، العمود 1).

A = [−6 2; 2 −3]B = [5 −3; −3 −3]

c₂₁ =

6.المصفوفات والمحدداتصعبة

حُلّ النظام −5x − 4y = 0 و 4x + 2y = 4. أوجد x.

−5x − 4y = 04x + 2y = 4

x =

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

علبة مشروب غازي عند 6 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 26 °C. بعد 11 min تكون درجة حرارتها 16 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.

T₀ = 6 °CT_a = 26 °CT(11) = 16 °C

k = min⁻¹

8.المعادلات التفاضليةصعبة

حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 3y/x = 5 لـ x > 0، مع y(1) = −3. أوجد y(2).

y′ + 3y/x = 5y(1) = −3

y(2) =

3المحاليل

1.الطرائق العددية

الإجابة: |E| = 0,00894

التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.

القيمة الدقيقة

I = 1,718282

قاعدة شبه المنحرف

T = (0,25/2)·(1 + 2·1,284025 + 2·1,648721 + 2·2,117 + 2,718282) = 1,727222

الخطأ

|E| = |1,727222 − 1,718282| = 0,00894

الإجابة

|E| = 0,00894

الخطأ النسبي: 0,5203%.

2.الطرائق العددية

الإجابة: y₃ = 0,1503

الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.

خطوات هوين

y₁ = 0 + (0,25/2)(0 + 0,0625) = 0,0078125

y₂ = 0,0078125 + (0,25/2)(0,062561 + 0,25055) = 0,0469514

y₃ = 0,0469514 + (0,25/2)(0,252204 + 0,574601) = 0,150302

الرسم البياني

y₃ = 0,1503

الإجابة

y₃ = 0,1503

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: R = 0,3333

المعاملات

المتسلسلة بدلالة x²: تتقارب عندما 9·x² < 1، أي |x| < 1/3.

نصف القطر

R = 0,3333

الإجابة

R = 0,3333

لا يقول اختبار النسبة شيئًا عند الطرفين؛ ويجب فحصهما على حدة.

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: n = 6

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

الحدود لقيم n متزايدة

n = 5: 4,34 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵

n = 6: 3,1 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵

أصغر درجة

n = 6

الإجابة

n = 6

5.المصفوفات والمحددات

الإجابة: c₂₁ = 19

المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.

صف في عمود

c₂₁ = 2·5 + (−3)·(−3) = 19

الإجابة

c₂₁ = 19

6.المصفوفات والمحددات

الإجابة: x = 2,667

محدد مصفوفة المعاملات

det A = (−5)·2 − (−4)·4 = 6

استبدل عمود x

det Aₓ = 0·2 − (−4)·4 = 16

x = 16/6 = 2,667

الإجابة

x = 2,667

y = −3,333

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: k = 0,06301 min⁻¹

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

نسبة فروق درجات الحرارة

e^−11k = -10/-20

حلّ لإيجاد k

k = ln(-20/-10)/11 = 0,06301 min⁻¹

الإجابة

k = 0,06301 min⁻¹

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(2) = 1,969

عامل التكامل

μ = e^{∫3/x dx} = x³

كامل

(x³y)′ = 5x³ → x³y = 5x⁴/4 + C

الشرط الابتدائي

−3 = 5/4 + C → C = −4,25

احسب

y(2) = (5·2⁴/4 + (−4,25))/2³ = 1,969

الإجابة

y(2) = 1,969

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods