لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.
المتتاليات والمتسلسلات
متتالية حسابية
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب
R = lim |ck/ck+1|
كثيرة حدود تايلور
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!
الطريقة
حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.
المصفوفات والمحددات
محدد 2×2
det = ad − bc
معكوس مصفوفة 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
المنتج
(AB)ij = Σk AikBkj
القيم الذاتية
det(A − λI) = 0
قاعدة كرامر
xi = det(Ai)/det(A)
المعادلات التفاضلية
النمو/الاضمحلال الأسّي
dy/dt = ky → y = y0ekt
عمر النصف
k = ln 2 / t½
قانون نيوتن للتبريد
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
عامل التكامل
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
خزان الخلط
dm/dt = r·c − (r/V)·m
2مسائل تدريبية
1.الطرائق العدديةمتوسطة
قرّب ∫01 √(1 + x³) dx بقاعدة سيمبسون باستخدام n = 6 شريحة. أعطِ S.
f(x) = √(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 6
S =
2.الطرائق العدديةصعبة
استخدم طريقة هوين (أويلر المحسّنة) مع h = 0,5 للمسألة y′ = 2y، y(0) = 2 لتقدير y3 ≈ y(1,5).
y′ = 2yy(0) = 2h = 0,5
y3 =
3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة
جد المجموع S = Σk=1∞ 4/(k(k + 3)).
ak = 4/(k(k + 3))
S =
4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة
استخدم كثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 3 للدالة f(x) = sin x لتقريب f(−1,5). أعطِ P₃(−1,5).
f(x) = sin xn = 3x = −1,5
P₃(−1.5) =
5.المصفوفات والمحدداتمتوسطة
لتكن C = AB للمصفوفتين المعروضتين. أوجد العنصر c12 (الصف 1، العمود 2).
A = [4 −5; −1 −6]B = [0 4; 5 2]
c12 =
6.المصفوفات والمحدداتصعبة
حُلّ النظام x + 4y = −11 و −2x − 2y = 0. أوجد x.
x + 4y = −11−2x − 2y = 0
x =
7.المعادلات التفاضليةمتوسطة
كوب قهوة عند 92 °C تُرك في غرفة عند 19 °C. بعد 11 min تكون درجة حرارتها 46 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 74 °C؟
T0 = 92 °CTa = 19 °CT(11) = 46 °CT = 74 °C
t = min
8.المعادلات التفاضليةصعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 16,25y = 16,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + y′ + 16,25y = 16,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
3المحاليل
1.الطرائق العددية
الإجابة: S = 1,111
التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.
ليس لهذا التكامل دالة أصلية أولية، وهذا هو بالضبط الوقت الذي تلزم فيه قاعدة عددية.
2.الطرائق العددية
الإجابة: y3 = 31,25
الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.
خطوات هوين
y₁ = 2 + (0,5/2)(4 + 8) = 5
y₂ = 5 + (0,5/2)(10 + 20) = 12,5
y₃ = 12,5 + (0,5/2)(25 + 50) = 31,25
الرسم البياني
y3 = 31,25
الإجابة
y3 = 31,25
القيمة الدقيقة هي y(1,5) = 40,171074.
3.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: S = 2,444
التقارب: إذا لم تؤول الحدود إلى 0 فالمتسلسلة متباعدة (اختبار الحد النوني). Σ1/kᵖ تتقارب فقط عندما p > 1، و Σrᵏ فقط عندما |r| < 1. قارن متسلسلة بإحداهما عندما تسلك حدودها سلوكهما لـ k كبيرة. اختبار النسبة: L = lim |ak+1/ak|؛ اختبار الجذر: L = lim |ak|1/k. L < 1 تتقارب، L > 1 تتباعد، L = 1 لا يحسم شيئًا. متسلسلة القوى Σck(x − x₀)ᵏ تتقارب لـ |x − x₀| < R مع R = lim |ck/ck+1|؛ والمتسلسلة المتناوبة التي تتناقص حدودها إلى 0 تتقارب.
الكسور الجزئية
4/(k(k + 3)) = (4/3)·(1/k − 1/(k + 3))
إلغاء
S = (4/3)·(1 + 1/2 + 1/3) = 2,444
الإجابة
S = 2,444
4.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: P₃(−1.5) = −0,9375
كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.
كثيرة حدود ماكلورين
P₃(x) = x − 0,1667x³
عوّض
P₃(−1,5) = −1,5 + 0,5625 = −0,9375
الإجابة
P₃(−1,5) = −0,9375
القيمة الدقيقة هي f(−1,5) = −0,997495؛ ويتناقص الخطأ −0,059995 عند أخذ حدود أكثر أو نقطة أقرب إلى 0.
5.المصفوفات والمحددات
الإجابة: c12 = 6
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
صف في عمود
c12 = 4·4 + (−5)·2 = 6
الإجابة
c12 = 6
6.المصفوفات والمحددات
الإجابة: x = 3,667
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
محدد مصفوفة المعاملات
det A = 1·(−2) − 4·(−2) = 6
استبدل عمود x
det Aₓ = (−11)·(−2) − 4·0 = 22
x = 22/6 = 3,667
الإجابة
x = 3,667
y = −3,667
7.المعادلات التفاضلية
الإجابة: t = 3,131 min
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.
ثابت التبريد
k = ln(73/27)/11 = 0,09042 min⁻¹
الزمن لبلوغ القيمة المستهدفة
t = ln(73/55)/0,09042 = 3,131 min
الإجابة
t = 3,131 min
8.المعادلات التفاضلية
الإجابة: ymax = 1,675
المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = ert: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·er₁t + B·er₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·ert (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 تكون ωn التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.