الطرائق العددية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الطرائق العددية

التنصيف: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
نيوتن–رافسون: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
الاستيفاء الخطي: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
حد خطأ شبه المنحرف: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
أويلر: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
هوين: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

الطريقة

لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

المصفوفات والمحددات

محدد 2×2: det = ad − bc
معكوس مصفوفة 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
المنتج: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
القيم الذاتية: det(A − λI) = 0
قاعدة كرامر: x_i = det(A_i)/det(A)

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.الطرائق العدديةمتوسطة

قرّب ∫₀¹ √x·e^−x dx بقاعدة شبه المنحرف باستخدام n = 4 شريحة. أعطِ T.

f(x) = √x·e^−x[a, b] = [0, 1]n = 4

T =

2.الطرائق العدديةصعبة

استخدم طريقة أويلر مع h = 0,1 للمسألة y′ = y − t²، y(0) = 0,5 لتقدير y₅ ≈ y(0,5).

y′ = y − t²y(0) = 0,5h = 0,1

y₅ =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

تتقارب متسلسلة القوى Σ_k=1^∞ k!·(x − 3)ᵏ/kᵏ على مجال حول x₀ = 3. جد الطرف الأيسر x لذلك المجال.

Σ k!·(x − 3)ᵏ/kᵏx₀ = 3

x =

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

استخدم كثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 5 للدالة f(x) = sin(3x) لتقريب f(0,8). أعطِ P₅(0,8).

f(x) = sin(3x)n = 5x = 0,8

P₅(0.8) =

5.المصفوفات والمحدداتمتوسطة

أوجد المحدد det A للمصفوفة A ذات 3×3 المعروضة.

A = [−4 3 2; 3 1 −5; 3 5 1]

det A =

6.المصفوفات والمحدداتصعبة

حُلّ النظام −3x + 6y = 5 و −6x − 4y = 10. أوجد x.

−3x + 6y = 5−6x − 4y = 10

x =

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

علبة مشروب غازي عند 5 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 30 °C. بعد 23 min تكون درجة حرارتها 22 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 15 °C؟

T₀ = 5 °CT_a = 30 °CT(23) = 22 °CT = 15 °C

t = min

8.المعادلات التفاضليةصعبة

حلّ y″ + 4y′ + 20y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,75)؛ الزوايا بالراديان.

y″ + 4y′ + 20y = 0y(0) = 1y′(0) = 0

y(0.75) =

3المحاليل

1.الطرائق العددية

الإجابة: T = 0,3528

التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.

العقد والقيم

h = 0,25

Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,3894 + 2·0,428882 + 2·0,409081 + 0,367879 = 2,822607

قاعدة شبه المنحرف

T = (0,25/2)·2,822607 = 0,3528

الإجابة

T = 0,3528

ليس لهذا التكامل دالة أصلية أولية، وهذا هو بالضبط الوقت الذي تلزم فيه قاعدة عددية.

2.الطرائق العددية

الإجابة: y₅ = 0,7732

الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.

خطوات أويلر

y₁ = 0,5 + 0,1·(0,5) = 0,55

y₂ = 0,55 + 0,1·(0,54) = 0,604

y₃ = 0,604 + 0,1·(0,564) = 0,6604

y₄ = 0,6604 + 0,1·(0,5704) = 0,71744

y₅ = 0,71744 + 0,1·(0,55744) = 0,773184

الرسم البياني

y₅ = 0,7732

الإجابة

y₅ = 0,7732

القيمة الدقيقة هي y(0,5) = 0,776918.

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: x = 0,2817

المعاملات

c_k/c_k+1 = (1 + 1/k)ᵏ → e

نصف القطر

R = 2,718

الفترة

0,2817 < x < 5,718

x = 0,2817

الإجابة

x = 0,2817

لا يقول اختبار النسبة شيئًا عند الطرفين؛ ويجب فحصهما على حدة.

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: P₅(0.8) = 0,7596

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

كثيرة حدود ماكلورين

P₅(x) = 3x − 4,5x³ + 2,025x⁵

عوّض

P₅(0,8) = 2,4 − 2,304 + 0,663552 = 0,7596

الإجابة

P₅(0,8) = 0,7596

القيمة الدقيقة هي f(0,8) = 0,675463؛ ويتناقص الخطأ −0,0840888 عند أخذ حدود أكثر أو نقطة أقرب إلى 0.

5.المصفوفات والمحددات

الإجابة: det A = −134

المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.

مصغّرات 2×2 للصف الأول

M₁₁ = 26, M₁₂ = 18, M₁₃ = 12

النشر بالمعاملات المرافقة

det A = (−4)·26 − 3·18 + 2·12 = −134

الإجابة

det A = −134

6.المصفوفات والمحددات

الإجابة: x = −1,667

محدد مصفوفة المعاملات

det A = (−3)·(−4) − 6·(−6) = 48

استبدل عمود x

det Aₓ = 5·(−4) − 6·10 = −80

x = −80/48 = −1,667

الإجابة

x = −1,667

y = 0

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: t = 10,31 min

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

ثابت التبريد

k = ln(-25/-8)/23 = 0,04954 min⁻¹

الزمن لبلوغ القيمة المستهدفة

t = ln(-25/(−15))/0,04954 = 10,31 min

الإجابة

t = 10,31 min

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(0.75) = −0,2052

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = e^rt: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·e^rt (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 تكون ω_n التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

الجذور المركّبة

r = −2 ± 4j

الثوابت

A = 1, B = 2·1/4 = 0,5

احسب

y(0,75) = e^−1,5(1·cos 3 + 0,5·sin 3) = −0,2052

الإجابة

y(0,75) = −0,2052

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods