الطرائق العددية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الطرائق العددية

التنصيف: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
نيوتن–رافسون: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
الاستيفاء الخطي: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
حد خطأ شبه المنحرف: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
أويلر: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
هوين: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

الطريقة

لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

المصفوفات والمحددات

محدد 2×2: det = ad − bc
معكوس مصفوفة 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
المنتج: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
القيم الذاتية: det(A − λI) = 0
قاعدة كرامر: x_i = det(A_i)/det(A)

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.الطرائق العدديةمتوسطة

قرّب ∫₀¹ 1/(1 + x³) dx بقاعدة شبه المنحرف باستخدام n = 6 شريحة. أعطِ T.

f(x) = 1/(1 + x³)[a, b] = [0, 1]n = 6

T =

2.الطرائق العدديةصعبة

استخدم طريقة هوين (أويلر المحسّنة) مع h = 0,2 للمسألة y′ = 0,5y، y(0) = 2 لتقدير y₃ ≈ y(0,6).

y′ = 0,5yy(0) = 2h = 0,2

y₃ =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

جد المجموع S = Σ_k=1^∞ 1/(k(k + 2)).

a_k = 1/(k(k + 2))

S =

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

تعرّف على المتسلسلة وجد مجموعها: S = Σ_k=1^∞ (−1)^k+1·0,75ᵏ/k.

a_k = (−1)^k+1·0,75ᵏ/k

S =

5.المصفوفات والمحدداتمتوسطة

لتكن C = AB للمصفوفتين المعروضتين. أوجد العنصر c₁₁ (الصف 1، العمود 1).

A = [−4 −1; −6 −1]B = [−4 2; 5 4]

c₁₁ =

6.المصفوفات والمحدداتصعبة

أوجد القيمة الذاتية الأكبر λ للمصفوفة A المعروضة.

A = [−3 −4; 3 5]

λ =

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

قطعة فولاذ مطروقة عند 300 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 20 °C. بعد 52 min تكون درجة حرارتها 186 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 220 °C؟

T₀ = 300 °CT_a = 20 °CT(52) = 186 °CT = 220 °C

t = min

8.المعادلات التفاضليةصعبة

يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 6,25y = 12,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,75)؛ الزوايا بالراديان.

y″ + 3y′ + 6,25y = 12,5y(0) = 0y′(0) = 0

y(0.75) =

3المحاليل

1.الطرائق العددية

الإجابة: T = 0,8339

التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.

العقد والقيم

h = 0,1667

Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,995392 + 2·0,964286 + 2·0,888889 + 2·0,771429 + 2·0,633431 + 0,5 = 10,006852

قاعدة شبه المنحرف

T = (0,1667/2)·10,006852 = 0,8339

الإجابة

T = 0,8339

ليس لهذا التكامل دالة أصلية أولية، وهذا هو بالضبط الوقت الذي تلزم فيه قاعدة عددية.

2.الطرائق العددية

الإجابة: y₃ = 2,698

الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.

خطوات هوين

y₁ = 2 + (0,2/2)(1 + 1,1) = 2,21

y₂ = 2,21 + (0,2/2)(1,105 + 1,2155) = 2,44205

y₃ = 2,44205 + (0,2/2)(1,221025 + 1,343128) = 2,698465

الرسم البياني

y₃ = 2,698

الإجابة

y₃ = 2,698

القيمة الدقيقة هي y(0,6) = 2,699718.

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: S = 0,75

الكسور الجزئية

1/(k(k + 2)) = (1/2)·(1/k − 1/(k + 2))

إلغاء

S = (1/2)·(1 + 1/2) = 0,75

الإجابة

S = 0,75

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: S = 0,5596

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

المتسلسلات المعيارية

Σ (−1)^k+1xᵏ/k = ln(1 + x)

عوّض

x = 0,75

S = ln 1,75 = 0,5596

الإجابة

S = 0,5596

5.المصفوفات والمحددات

الإجابة: c₁₁ = 11

المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.

صف في عمود

c₁₁ = (−4)·(−4) + (−1)·5 = 11

الإجابة

c₁₁ = 11

6.المصفوفات والمحددات

الإجابة: λ = 3

المعادلة المميزة

λ² − (2)λ + (−3) = 0

الحل

λ = (2 ± √(16))/2 → λ = −1, 3

λ = 3

الإجابة

λ = 3

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: t = 33,47 min

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

ثابت التبريد

k = ln(280/166)/52 = 0,01005 min⁻¹

الزمن لبلوغ القيمة المستهدفة

t = ln(280/200)/0,01005 = 33,47 min

الإجابة

t = 33,47 min

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(0.75) = 1,468

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = e^rt: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·e^rt (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 تكون ω_n التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

القيمة المستقرة والجذور

y_ss = 2, r = −1,5 ± 2j

الثابتان من القيم الابتدائية

y(0) = 2 + A = 0 → A = −2

y′(0) = −1,5A + 2B = 0 → B = −1,5

احسب

y(0,75) = 2·(1 − e^−1,125(cos 1,5 + 0,75·sin 1,5)) = 1,468

الإجابة

y(0,75) = 1,468

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods