حلّ y′ = t − y، y(0) = 0,5 بطريقة أويلر وبخطوة h = 0,25 حتى t = 1. الحل الدقيق هو y = t − 1 + (y₀ + 1)e−t. جد الخطأ الكلي |E| = |y(1) − y4|.
y′ = t − yy(0) = 0,5h = 0,25
|E| =
3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة
طبّق اختبار النسبة على Σk=1∞ (k!)²·3ᵏ/(2k)!. جد L = lim |ak+1/ak|.
ak = (k!)²·3ᵏ/(2k)!
L =
4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة
تُقرَّب f(x) = sin x بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 2 عند x = 1. استخدم حد خطأ لاغرانج M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! مع M = 1 لإيجاد أكبر خطأ ممكن |R₂|.
f(x) = sin xn = 2x = 1M = 1
|R₂| =
5.المصفوفات والمحدداتمتوسطة
لتكن C = AB للمصفوفتين المعروضتين. أوجد العنصر c11 (الصف 1، العمود 1).
A = [−5 2; 6 6]B = [6 2; −2 −6]
c11 =
6.المصفوفات والمحدداتصعبة
حُلّ النظام 6x − 4y = −1 و 4x + 6y = −11. أوجد x.
6x − 4y = −14x + 6y = −11
x =
7.المعادلات التفاضليةمتوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 440 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 24 °C. بعد 54 min تكون درجة حرارتها 266 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 157 °C؟
التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.
القيمة الدقيقة
I = 1,098612
قاعدة شبه المنحرف
T = (1/2)·(1 + 2·0,5 + 0,333333) = 1,166667
الخطأ
|E| = |1,166667 − 1,098612| = 0,06805
الإجابة
|E| = 0,06805
الخطأ النسبي: 6,195%.
2.الطرائق العددية
الإجابة: |E| = 0,07721
الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.
خطوات أويلر
y4 = 0,474609
القيمة الدقيقة
y(1) = 0,551819
الخطأ الكلي
|E| = |0,551819 − 0,474609| = 0,07721
الرسم البياني
الإجابة
|E| = 0,07721
تنصيف h ينصّف تقريبًا خطأ طريقة أويلر.
3.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: L = 0,75
التقارب: إذا لم تؤول الحدود إلى 0 فالمتسلسلة متباعدة (اختبار الحد النوني). Σ1/kᵖ تتقارب فقط عندما p > 1، و Σrᵏ فقط عندما |r| < 1. قارن متسلسلة بإحداهما عندما تسلك حدودها سلوكهما لـ k كبيرة. اختبار النسبة: L = lim |ak+1/ak|؛ اختبار الجذر: L = lim |ak|1/k. L < 1 تتقارب، L > 1 تتباعد، L = 1 لا يحسم شيئًا. متسلسلة القوى Σck(x − x₀)ᵏ تتقارب لـ |x − x₀| < R مع R = lim |ck/ck+1|؛ والمتسلسلة المتناوبة التي تتناقص حدودها إلى 0 تتقارب.
نسبة الحدود المتتالية
|ak+1/ak| = 3·(k + 1)²/((2k + 2)(2k + 1)) → 3/4
الخلاصة
L = 0,75 < 1
الإجابة
L = 0,75
L < 1، فالمتسلسلة تتقارب.
4.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: |R₂| = 0,1667
كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.
حد المشتقة
M = 1
حد لاغرانج
|R₂| ≤ 1·1³/3! = 0,1667
الإجابة
|R₂| = 0,1667
الخطأ الحقيقي أصغر: |f(1) − P₂(1)| = 0,1585.
5.المصفوفات والمحددات
الإجابة: c11 = −34
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
صف في عمود
c11 = (−5)·6 + 2·(−2) = −34
الإجابة
c11 = −34
6.المصفوفات والمحددات
الإجابة: x = −0,9615
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
محدد مصفوفة المعاملات
det A = 6·6 − (−4)·4 = 52
استبدل عمود x
det Aₓ = (−1)·6 − (−4)·(−11) = −50
x = −50/52 = −0,9615
الإجابة
x = −0,9615
y = −1,192
7.المعادلات التفاضلية
الإجابة: t = 113,7 min
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.
ثابت التبريد
k = ln(416/242)/54 = 0,01003 min⁻¹
الزمن لبلوغ القيمة المستهدفة
t = ln(416/133)/0,01003 = 113,7 min
الإجابة
t = 113,7 min
8.المعادلات التفاضلية
الإجابة: y(1) = −2,269
المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = ert: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·er₁t + B·er₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·ert (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 تكون ωn التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.