استخدم كثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 4 للدالة f(x) = e3x لتقريب f(−0,5). أعطِ P₄(−0,5).
f(x) = e3xn = 4x = −0,5
P₄(−0.5) =
5.المصفوفات والمحدداتمتوسطة
لتكن C = AB للمصفوفتين المعروضتين. أوجد العنصر c12 (الصف 1، العمود 2).
A = [3 3; 4 −2]B = [−1 −3; −6 4]
c12 =
6.المصفوفات والمحدداتصعبة
أوجد القيمة الذاتية الأكبر λ للمصفوفة A المعروضة.
A = [−3 3; −7 7]
λ =
7.المعادلات التفاضليةمتوسطة
حلّ y″ + 2y′ + y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 0. أوجد y(0,5).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(0.5) =
8.المعادلات التفاضليةصعبة
خزان يحتوي 200 L من الماء أُذيب فيه 10 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,1 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 10 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 35 min؟
V = 200 Lm0 = 10 kgc = 0,1 kg/Lr = 10 L/min
m = kg
3المحاليل
1.الطرائق العددية
الإجابة: T = 0,9118
التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.
العقد والقيم
h = 0,5
Σ wᵢfᵢ = 1 + 2·0,970143 + 0,707107 = 3,647392
قاعدة شبه المنحرف
T = (0,5/2)·3,647392 = 0,9118
الإجابة
T = 0,9118
ليس لهذا التكامل دالة أصلية أولية، وهذا هو بالضبط الوقت الذي تلزم فيه قاعدة عددية.
2.الطرائق العددية
الإجابة: y1 = 1,179
الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.
التقارب: إذا لم تؤول الحدود إلى 0 فالمتسلسلة متباعدة (اختبار الحد النوني). Σ1/kᵖ تتقارب فقط عندما p > 1، و Σrᵏ فقط عندما |r| < 1. قارن متسلسلة بإحداهما عندما تسلك حدودها سلوكهما لـ k كبيرة. اختبار النسبة: L = lim |ak+1/ak|؛ اختبار الجذر: L = lim |ak|1/k. L < 1 تتقارب، L > 1 تتباعد، L = 1 لا يحسم شيئًا. متسلسلة القوى Σck(x − x₀)ᵏ تتقارب لـ |x − x₀| < R مع R = lim |ck/ck+1|؛ والمتسلسلة المتناوبة التي تتناقص حدودها إلى 0 تتقارب.
اختبر كل متسلسلة
A: Σ (4/5)ᵏ → هندسية مع r = 4/5، |r| < 1: تتقارب.
B: Σ (k + 1)/k² → تسلك سلوك 1/k لـ k كبيرة: تتباعد بالمقارنة مع المتسلسلة التوافقية.
C: Σ (5/4)ᵏ → هندسية مع r = 5/4 > 1: تنمو الحدود، فتتباعد.
D: Σ k/(k + 6) → تؤول الحدود إلى 1 لا إلى 0: تتباعد باختبار الحد النوني.
الجواب
A: Σ (4/5)ᵏ
الإجابة
A: Σ (4/5)ᵏ
4.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: P₄(−0.5) = 0,2734
كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.
القيمة الدقيقة هي f(−0,5) = 0,22313؛ ويتناقص الخطأ −0,0503073 عند أخذ حدود أكثر أو نقطة أقرب إلى 0.
5.المصفوفات والمحددات
الإجابة: c12 = 3
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
صف في عمود
c12 = 3·(−3) + 3·4 = 3
الإجابة
c12 = 3
6.المصفوفات والمحددات
الإجابة: λ = 4
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
المعادلة المميزة
λ² − (4)λ + (0) = 0
الحل
λ = (4 ± √(16))/2 → λ = 0, 4
λ = 4
الإجابة
λ = 4
7.المعادلات التفاضلية
الإجابة: y(0.5) = 0,9098
المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = ert: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·er₁t + B·er₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·ert (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 تكون ωn التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.
الجذر المضاعف
(r + 1)² = 0 → r = −1
الثوابت
A = y(0) = 1
y′(0) = B − 1A → B = 0 + 1 = 1
احسب
y(0,5) = (1 + 1·0,5)·e−0,5 = 0,9098
الإجابة
y(0,5) = 0,9098
8.المعادلات التفاضلية
الإجابة: m = 18,26 kg
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.
صُغ المعادلة
dm/dt = 10·0,1 − (10/200)·m = 1 − 0,05·m
الحل
عامل التكامل ert/V؛ والحل يقترب من قيمة الاتزان c·V.