حلّ y′ = t − y، y(0) = 3 بطريقة أويلر وبخطوة h = 0,1 حتى t = 0,3. الحل الدقيق هو y = t − 1 + (y₀ + 1)e−t. جد الخطأ الكلي |E| = |y(0,3) − y3|.
y′ = t − yy(0) = 3h = 0,1
|E| =
3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة
جد نصف قطر التقارب R لمتسلسلة القوى Σk=1∞ k²·3ᵏ·xᵏ.
Σ k²·3ᵏ·xᵏx₀ = 0
R =
4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة
تُقرَّب f(x) = cos x بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 2 عند x = 0,5. استخدم حد خطأ لاغرانج M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! مع M = 1 لإيجاد أكبر خطأ ممكن |R₂|.
f(x) = cos xn = 2x = 0,5M = 1
|R₂| =
5.المصفوفات والمحدداتمتوسطة
لتكن C = AB للمصفوفتين المعروضتين. أوجد العنصر c21 (الصف 2، العمود 1).
A = [−2 0; 6 5]B = [0 1; −4 −1]
c21 =
6.المصفوفات والمحدداتصعبة
أوجد القيمة الذاتية الأكبر λ للمصفوفة A المعروضة.
A = [4 −1; 2 1]
λ =
7.المعادلات التفاضليةمتوسطة
حلّ y″ + 2y′ + y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = 1. أوجد y(1).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 2y′(0) = 1
y(1) =
8.المعادلات التفاضليةصعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + y/x = 2x2 لـ x > 0، مع y(1) = 0. أوجد y(2).
y′ + y/x = 2x2y(1) = 0
y(2) =
3المحاليل
1.الطرائق العددية
الإجابة: |E| = 0,00894
التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.
الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.
خطوات أويلر
y3 = 2,216
القيمة الدقيقة
y(0,3) = 2,263273
الخطأ الكلي
|E| = |2,263273 − 2,216| = 0,04727
الرسم البياني
الإجابة
|E| = 0,04727
تنصيف h ينصّف تقريبًا خطأ طريقة أويلر.
3.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: R = 0,3333
التقارب: إذا لم تؤول الحدود إلى 0 فالمتسلسلة متباعدة (اختبار الحد النوني). Σ1/kᵖ تتقارب فقط عندما p > 1، و Σrᵏ فقط عندما |r| < 1. قارن متسلسلة بإحداهما عندما تسلك حدودها سلوكهما لـ k كبيرة. اختبار النسبة: L = lim |ak+1/ak|؛ اختبار الجذر: L = lim |ak|1/k. L < 1 تتقارب، L > 1 تتباعد، L = 1 لا يحسم شيئًا. متسلسلة القوى Σck(x − x₀)ᵏ تتقارب لـ |x − x₀| < R مع R = lim |ck/ck+1|؛ والمتسلسلة المتناوبة التي تتناقص حدودها إلى 0 تتقارب.
المعاملات
ck/ck+1 = (1/3)·(k/(k + 1))² → 1/3
نصف القطر
R = 0,3333
الإجابة
R = 0,3333
لا يقول اختبار النسبة شيئًا عند الطرفين؛ ويجب فحصهما على حدة.
4.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: |R₂| = 0,02083
كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.
حد المشتقة
M = 1
حد لاغرانج
|R₂| ≤ 1·0,5³/3! = 0,02083
الإجابة
|R₂| = 0,02083
الخطأ الحقيقي أصغر: |f(0,5) − P₂(0,5)| = 0,002583.
5.المصفوفات والمحددات
الإجابة: c21 = −20
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
صف في عمود
c21 = 6·0 + 5·(−4) = −20
الإجابة
c21 = −20
6.المصفوفات والمحددات
الإجابة: λ = 3
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
المعادلة المميزة
λ² − (5)λ + (6) = 0
الحل
λ = (5 ± √(1))/2 → λ = 2, 3
λ = 3
الإجابة
λ = 3
7.المعادلات التفاضلية
الإجابة: y(1) = 1,839
المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = ert: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·er₁t + B·er₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·ert (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 تكون ωn التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.
الجذر المضاعف
(r + 1)² = 0 → r = −1
الثوابت
A = y(0) = 2
y′(0) = B − 1A → B = 1 + 2 = 3
احسب
y(1) = (2 + 3·1)·e−1 = 1,839
الإجابة
y(1) = 1,839
8.المعادلات التفاضلية
الإجابة: y(2) = 3,75
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.