الطرائق العددية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الطرائق العددية

التنصيف
c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
نيوتن–رافسون
xn+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
الاستيفاء الخطي
y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
قاعدة شبه المنحرف
T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2fn−1 + fₙ], h = (b − a)/n
قاعدة سيمبسون (n زوجي)
S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4fn−1 + fₙ]
حد خطأ شبه المنحرف
|E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
أويلر
yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
هوين
yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4
yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

الطريقة

  1. لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
  2. لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
  3. لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
  4. لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية
aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية
aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية
S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p
Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة
L = lim |ak+1/ak|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب
R = lim |ck/ck+1|
كثيرة حدود تايلور
Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين
eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج
|Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

  1. حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
  2. للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
  3. للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
  4. لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

المصفوفات والمحددات

محدد 2×2
det = ad − bc
معكوس مصفوفة 2×2
A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
المنتج
(AB)ij = Σk AikBkj
القيم الذاتية
det(A − λI) = 0
قاعدة كرامر
xi = det(Ai)/det(A)

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي
dy/dt = ky → y = y0ekt
عمر النصف
k = ln 2 / t½
قانون نيوتن للتبريد
T(t) = Ta + (T0 − Ta)e−kt
عامل التكامل
y′ + p(x)y = q(x): μ = e∫p dx, (μy)′ = μq
خزان الخلط
dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.الطرائق العدديةمتوسطة
xy012

قرّب ∫02 sin x dx بقاعدة سيمبسون، n = 2، وقارنه بالقيمة الدقيقة. جد الخطأ المطلق |E| = |S − I|.

f(x) = sin x[a, b] = [0, 2]n = 2
|E| =
2.الطرائق العدديةصعبة
00,20,40,6−2,5−2−1,5−1ty(0, −1)

استخدم طريقة أويلر مع h = 0,25 للمسألة y′ = y − t²، y(0) = −1 لتقدير y3 ≈ y(0,75).

y′ = y − t²y(0) = −1h = 0,25
y3 =
3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة
AΣ (5/3)ᵏk = 1 … ∞BΣ (4k + 1)/(k + 2)k = 1 … ∞CΣ 5ᵏ/k!k = 1 … ∞DΣ 1/(5k + 1)k = 1 … ∞

متسلسلة واحدة بالضبط من المتسلسلات الأربع تتقارب. انقر عليها.

A: Σ (5/3)ᵏB: Σ (4k + 1)/(k + 2)C: Σ 5ᵏ/k!D: Σ 1/(5k + 1)
  1. 1A: Σ (5/3)ᵏ
  2. 2B: Σ (4k + 1)/(k + 2)
  3. 3C: Σ 5ᵏ/k!
  4. 4D: Σ 1/(5k + 1)
4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

تعرّف على المتسلسلة وجد مجموعها: S = Σk=1∞ k·0,5ᵏ.

ak = k·0,5ᵏ
S =
5.المصفوفات والمحدداتمتوسطة
A =−3−21−45−41−5−2

أوجد المحدد det A للمصفوفة A ذات 3×3 المعروضة.

A = [−3 −2 1; −4 5 −4; 1 −5 −2]
det A =
6.المصفوفات والمحدداتصعبة
A =6−35−2

أوجد القيمة الذاتية الأكبر λ للمصفوفة A المعروضة.

A = [6 −3; 5 −2]
λ =
7.المعادلات التفاضليةمتوسطة
tyy(0) = 3y(0,5) = ?

حلّ y″ + 2y′ + y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 1. أوجد y(0,5).

y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 3y′(0) = 1
y(0.5) =
8.المعادلات التفاضليةصعبة
tyK = 10y(1) = ?

يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 5y = 50 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(1)؛ الزوايا بالراديان.

y″ + 2y′ + 5y = 50y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =

3المحاليل

1.الطرائق العددية

الإجابة: |E| = 0,008914

التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.

القيمة الدقيقة

I = 1,416147

قاعدة سيمبسون

S = (1/3)·(0 + 4·0,841471 + 0,909297) = 1,42506

الخطأ

|E| = |1,42506 − 1,416147| = 0,008914

الإجابة

|E| = 0,008914

الخطأ النسبي: 0,6294%.

2.الطرائق العددية

الإجابة: y3 = −2,035

الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.

ntₙyₙf(tₙ, yₙ)yₙ₊₁00−1−1−1,2510,25−1,25−1,3125−1,57812520,5−1,578125−1,828125−2,035156

خطوات أويلر

y₁ = −1 + 0,25·(−1) = −1,25
y₂ = −1,25 + 0,25·(−1,3125) = −1,578125
y₃ = −1,578125 + 0,25·(−1,828125) = −2,035156
00,20,40,6−2,5−2−1,5−1ty

الرسم البياني

y3 = −2,035

الإجابة

y3 = −2,035

القيمة الدقيقة هي y(0,75) = −2,2885.

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: C: Σ 5ᵏ/k!

التقارب: إذا لم تؤول الحدود إلى 0 فالمتسلسلة متباعدة (اختبار الحد النوني). Σ1/kᵖ تتقارب فقط عندما p > 1، و Σrᵏ فقط عندما |r| < 1. قارن متسلسلة بإحداهما عندما تسلك حدودها سلوكهما لـ k كبيرة. اختبار النسبة: L = lim |ak+1/ak|؛ اختبار الجذر: L = lim |ak|1/k. L < 1 تتقارب، L > 1 تتباعد، L = 1 لا يحسم شيئًا. متسلسلة القوى Σck(x − x₀)ᵏ تتقارب لـ |x − x₀| < R مع R = lim |ck/ck+1|؛ والمتسلسلة المتناوبة التي تتناقص حدودها إلى 0 تتقارب.

اختبر كل متسلسلة

A: Σ (5/3)ᵏ → هندسية مع r = 5/3 > 1: تنمو الحدود، فتتباعد.
B: Σ (4k + 1)/(k + 2) → تؤول الحدود إلى 4 لا إلى 0: تتباعد باختبار الحد النوني.
C: Σ 5ᵏ/k! → اختبار النسبة: L = lim 5/(k + 1) = 0 < 1، تتقارب.
D: Σ 1/(5k + 1) → تسلك سلوك 1/(5k) لـ k كبيرة؛ وبالمقارنة مع المتسلسلة التوافقية تتباعد.

الجواب

C: Σ 5ᵏ/k!

الإجابة

C: Σ 5ᵏ/k!
4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: S = 2

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

المتسلسلات المعيارية

Σ k·xᵏ = x/(1 − x)²

عوّض

x = 0,5
S = 0,5/(1 − 0,5)² = 2

الإجابة

S = 2
5.المصفوفات والمحددات

الإجابة: det A = 129

المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.

مصغّرات 2×2 للصف الأول

M₁₁ = −30, M₁₂ = 12, M₁₃ = 15

النشر بالمعاملات المرافقة

det A = (−3)·(−30) − (−2)·12 + 1·15 = 129

الإجابة

det A = 129
6.المصفوفات والمحددات

الإجابة: λ = 3

المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.

المعادلة المميزة

λ² − (4)λ + (3) = 0

الحل

λ = (4 ± √(4))/2 → λ = 1, 3
λ = 3

الإجابة

λ = 3
7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(0.5) = 3,033

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = ert: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·er₁t + B·er₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·ert (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 تكون ωn التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

الجذر المضاعف

(r + 1)² = 0 → r = −1

الثوابت

A = y(0) = 3
y′(0) = B − 1A → B = 1 + 3 = 4

احسب

y(0,5) = (3 + 4·0,5)·e−0,5 = 3,033

الإجابة

y(0,5) = 3,033
8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(1) = 9,858

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = ert: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·er₁t + B·er₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·ert (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 تكون ωn التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

القيمة المستقرة والجذور

yss = 10, r = −1 ± 2j

الثابتان من القيم الابتدائية

y(0) = 10 + A = 0 → A = −10
y′(0) = −1A + 2B = 0 → B = −5

احسب

y(1) = 10·(1 − e−1(cos 2 + 0,5·sin 2)) = 9,858

الإجابة

y(1) = 9,858

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods