استخدم طريقة أويلر مع h = 0,2 للمسألة y′ = cos t − y، y(0) = 1 لتقدير y3 ≈ y(0,6).
y′ = cos t − yy(0) = 1h = 0,2
y3 =
3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة
جد نصف قطر التقارب R لمتسلسلة القوى Σk=1∞ (2k)!·(x − 3)ᵏ/(k!)².
Σ (2k)!·(x − 3)ᵏ/(k!)²x₀ = 3
R =
4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة
جد المعامل c₄ لـ (x − 1)⁴ في متسلسلة تايلور للدالة f(x) = e−x حول a = 1.
f(x) = e−xa = 1k = 4
c₄ =
5.المصفوفات والمحدداتمتوسطة
أوجد المحدد det A للمصفوفة A ذات 3×3 المعروضة.
A = [−2 −2 2; 2 −4 2; 5 −1 −2]
det A =
6.المصفوفات والمحدداتصعبة
أوجد القيمة الذاتية الأكبر λ للمصفوفة A المعروضة.
A = [5 −3; 8 −5]
λ =
7.المعادلات التفاضليةمتوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 400 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 26 °C. بعد 54 min تكون درجة حرارتها 51 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 295 °C؟
T0 = 400 °CTa = 26 °CT(54) = 51 °CT = 295 °C
t = min
8.المعادلات التفاضليةصعبة
خزان يحتوي 1000 L من الماء أُذيب فيه 20 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,05 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 4 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 35 min؟
V = 1000 Lm0 = 20 kgc = 0,05 kg/Lr = 4 L/min
m = kg
3المحاليل
1.الطرائق العددية
الإجابة: |E| = 0,003877
التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.
الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.
خطوات أويلر
y₁ = 1 + 0,2·(0) = 1
y₂ = 1 + 0,2·(−0,0199334) = 0,996013
y₃ = 0,996013 + 0,2·(−0,0749523) = 0,981023
الرسم البياني
y3 = 0,981
الإجابة
y3 = 0,981
3.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: R = 0,25
التقارب: إذا لم تؤول الحدود إلى 0 فالمتسلسلة متباعدة (اختبار الحد النوني). Σ1/kᵖ تتقارب فقط عندما p > 1، و Σrᵏ فقط عندما |r| < 1. قارن متسلسلة بإحداهما عندما تسلك حدودها سلوكهما لـ k كبيرة. اختبار النسبة: L = lim |ak+1/ak|؛ اختبار الجذر: L = lim |ak|1/k. L < 1 تتقارب، L > 1 تتباعد، L = 1 لا يحسم شيئًا. متسلسلة القوى Σck(x − x₀)ᵏ تتقارب لـ |x − x₀| < R مع R = lim |ck/ck+1|؛ والمتسلسلة المتناوبة التي تتناقص حدودها إلى 0 تتقارب.
لا يقول اختبار النسبة شيئًا عند الطرفين؛ ويجب فحصهما على حدة.
4.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: c₄ = 0,01533
كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.
المشتقة f⁽⁴⁾
f⁽⁴⁾(x) = (−1)⁴·e−x
المعامل
c₄ = (−1)⁴·e−1/4! = 0,01533
c₄ = 0,01533
الإجابة
c₄ = 0,01533
5.المصفوفات والمحددات
الإجابة: det A = −12
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
مصغّرات 2×2 للصف الأول
M₁₁ = 10, M₁₂ = −14, M₁₃ = 18
النشر بالمعاملات المرافقة
det A = (−2)·10 − (−2)·(−14) + 2·18 = −12
الإجابة
det A = −12
6.المصفوفات والمحددات
الإجابة: λ = 1
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
المعادلة المميزة
λ² − (0)λ + (−1) = 0
الحل
λ = (0 ± √(4))/2 → λ = −1, 1
λ = 1
الإجابة
λ = 1
7.المعادلات التفاضلية
الإجابة: t = 6,578 min
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.
ثابت التبريد
k = ln(374/25)/54 = 0,0501 min⁻¹
الزمن لبلوغ القيمة المستهدفة
t = ln(374/269)/0,0501 = 6,578 min
الإجابة
t = 6,578 min
8.المعادلات التفاضلية
الإجابة: m = 23,92 kg
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.
صُغ المعادلة
dm/dt = 4·0,05 − (4/1000)·m = 0,2 − 0,004·m
الحل
عامل التكامل ert/V؛ والحل يقترب من قيمة الاتزان c·V.