الطرائق العددية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الطرائق العددية

التنصيف: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
نيوتن–رافسون: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
الاستيفاء الخطي: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
حد خطأ شبه المنحرف: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
أويلر: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
هوين: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

الطريقة

لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

المصفوفات والمحددات

محدد 2×2: det = ad − bc
معكوس مصفوفة 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
المنتج: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
القيم الذاتية: det(A − λI) = 0
قاعدة كرامر: x_i = det(A_i)/det(A)

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.الطرائق العدديةمتوسطة

قرّب ∫₀³ √x·e^−x dx بقاعدة شبه المنحرف باستخدام n = 2 شريحة. أعطِ T.

f(x) = √x·e^−x[a, b] = [0, 3]n = 2

T =

2.الطرائق العدديةصعبة

استخدم طريقة أويلر مع h = 0,25 للمسألة y′ = t + y، y(0) = 2 لتقدير y₄ ≈ y(1).

y′ = t + yy(0) = 2h = 0,25

y₄ =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

طبّق اختبار النسبة على Σ_k=1^∞ 2ᵏ·k!/kᵏ. جد L = lim |a_k+1/a_k|.

a_k = 2ᵏ·k!/kᵏ

L =

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

جد المعامل c₂ لـ (x − 1)² في متسلسلة تايلور للدالة f(x) = √x حول a = 1.

f(x) = √xa = 1k = 2

c₂ =

5.المصفوفات والمحدداتمتوسطة

لتكن C = AB للمصفوفتين المعروضتين. أوجد العنصر c₂₂ (الصف 2، العمود 2).

A = [−2 5; −3 −2]B = [4 5; 6 4]

c₂₂ =

6.المصفوفات والمحدداتصعبة

حُلّ النظام −4x + 3y = 4 و x − 6y = −6. أوجد x.

−4x + 3y = 4x − 6y = −6

x =

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

علبة مشروب غازي عند 3 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 29 °C. بعد 25 min تكون درجة حرارتها 22 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 11 °C؟

T₀ = 3 °CT_a = 29 °CT(25) = 22 °CT = 11 °C

t = min

8.المعادلات التفاضليةصعبة

يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 20y = 100 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى y_max لاستجابته للدخل الدرجي.

y″ + 4y′ + 20y = 100y(0) = 0y′(0) = 0

y_max =

3المحاليل

1.الطرائق العددية

الإجابة: T = 0,4746

التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.

العقد والقيم

h = 1,5

Σ wᵢfᵢ = 0 + 2·0,273278 + 0,0862337 = 0,632789

قاعدة شبه المنحرف

T = (1,5/2)·0,632789 = 0,4746

الإجابة

T = 0,4746

ليس لهذا التكامل دالة أصلية أولية، وهذا هو بالضبط الوقت الذي تلزم فيه قاعدة عددية.

2.الطرائق العددية

الإجابة: y₄ = 5,324

الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.

خطوات أويلر

y₁ = 2 + 0,25·(2) = 2,5

y₂ = 2,5 + 0,25·(2,75) = 3,1875

y₃ = 3,1875 + 0,25·(3,6875) = 4,109375

y₄ = 4,109375 + 0,25·(4,859375) = 5,324219

الرسم البياني

y₄ = 5,324

الإجابة

y₄ = 5,324

القيمة الدقيقة هي y(1) = 6,154845.

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: L = 0,7358

نسبة الحدود المتتالية

|a_k+1/a_k| = 2·(k/(k + 1))ᵏ = 2/(1 + 1/k)ᵏ → 2/e

الخلاصة

L = 0,7358 < 1

الإجابة

L = 0,7358

L < 1، فالمتسلسلة تتقارب.

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: c₂ = −0,125

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

المشتقة f⁽²⁾

f⁽²⁾(x) = −0,25·x^{1/2 − 2}

المعامل

c₂ = −0,25·1^{1/2 − 2}/2! = −0,125

c₂ = −0,125

الإجابة

c₂ = −0,125

5.المصفوفات والمحددات

الإجابة: c₂₂ = −23

المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.

صف في عمود

c₂₂ = (−3)·5 + (−2)·4 = −23

الإجابة

c₂₂ = −23

6.المصفوفات والمحددات

الإجابة: x = −0,2857

محدد مصفوفة المعاملات

det A = (−4)·(−6) − 3·1 = 21

استبدل عمود x

det Aₓ = 4·(−6) − 3·(−6) = −6

x = −6/21 = −0,2857

الإجابة

x = −0,2857

y = 0,9524

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: t = 7,006 min

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

ثابت التبريد

k = ln(-26/-7)/25 = 0,05249 min⁻¹

الزمن لبلوغ القيمة المستهدفة

t = ln(-26/(−18))/0,05249 = 7,006 min

الإجابة

t = 7,006 min

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y_max = 6,039

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = e^rt: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·e^rt (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 تكون ω_n التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

القيمة المستقرة والجذور

y_ss = 5, r = −2 ± 4j

الثابتان من القيم الابتدائية

y(0) = 5 + A = 0 → A = −5

y′(0) = −2A + 4B = 0 → B = −2,5

الذروة

t = π/4 = 0,7854

y_max = 5·(1 + e^−2·π/4) = 6,039

الإجابة

y_max = 6,039

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods