الطرائق العددية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الطرائق العددية

التنصيف: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
نيوتن–رافسون: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
الاستيفاء الخطي: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
حد خطأ شبه المنحرف: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
أويلر: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
هوين: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

الطريقة

لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

المصفوفات والمحددات

محدد 2×2: det = ad − bc
معكوس مصفوفة 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
المنتج: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
القيم الذاتية: det(A − λI) = 0
قاعدة كرامر: x_i = det(A_i)/det(A)

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.الطرائق العدديةمتوسطة

تُستخدم قاعدة شبه المنحرف لحساب ∫₀² x³ dx. الخطأ على الأكثر (b − a)³·M/(12n²) مع M = max|f″| على [0, 2]. جد أصغر عدد شرائح n يضمن خطأً أقل من 0,0001.

f(x) = x³[a, b] = [0, 2]ε = 0,0001

n =

2.الطرائق العدديةصعبة

استخدم طريقة هوين (أويلر المحسّنة) مع h = 0,25 للمسألة y′ = e^−ty، y(0) = 0,5 لتقدير y₃ ≈ y(0,75).

y′ = e^−tyy(0) = 0,5h = 0,25

y₃ =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

جد نصف قطر التقارب R لمتسلسلة القوى Σ_k=1^∞ 16ᵏx²ᵏ/k.

Σ 16ᵏx²ᵏ/kx₀ = 0

R =

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

تُقرَّب f(x) = eˣ عند x = 1 بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة n. مع حد لاغرانج M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! و M = 3، جد أصغر درجة n تضمن خطأً أقل من 1 × 10⁻⁵.

f(x) = eˣx = 1M = 3ε = 1 × 10⁻⁵

n =

5.المصفوفات والمحدداتمتوسطة

أوجد المحدد det A للمصفوفة A ذات 3×3 المعروضة.

A = [5 −4 3; 2 5 0; −1 2 2]

det A =

6.المصفوفات والمحدداتصعبة

حُلّ النظام 3x − 4y = −7 و 5x − 4y = 2. أوجد x.

3x − 4y = −75x − 4y = 2

x =

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

حلّ y″ + 5y′ + 6y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 6. أوجد y(0,5).

y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 1y′(0) = 6

y(0.5) =

8.المعادلات التفاضليةصعبة

خزان يحتوي 100 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,1 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 10 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 15 min؟

V = 100 Lm₀ = 0 kgc = 0,1 kg/Lr = 10 L/min

m = kg

3المحاليل

1.الطرائق العددية

الإجابة: n = 283

التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.

حد المشتقة الثانية

M = 6·2 = 12

حُلّ لإيجاد n

n² > 8·12/(12·0,0001) = 80000

n > 282,8 → n = 283

الإجابة

n = 283

2.الطرائق العددية

الإجابة: y₃ = 1,046

الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.

خطوات هوين

y₁ = 0,5 + (0,25/2)(1 + 0,829029) = 0,728629

y₂ = 0,728629 + (0,25/2)(0,83347 + 0,625942) = 0,911055

y₃ = 0,911055 + (0,25/2)(0,634113 + 0,448347) = 1,046363

الرسم البياني

y₃ = 1,046

الإجابة

y₃ = 1,046

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: R = 0,25

المعاملات

المتسلسلة بدلالة x²: تتقارب عندما 16·x² < 1، أي |x| < 1/4.

نصف القطر

R = 0,25

الإجابة

R = 0,25

لا يقول اختبار النسبة شيئًا عند الطرفين؛ ويجب فحصهما على حدة.

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: n = 8

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

الحدود لقيم n متزايدة

n = 7: 7,44 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵

n = 8: 8,267 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵

أصغر درجة

n = 8

الإجابة

n = 8

5.المصفوفات والمحددات

الإجابة: det A = 93

المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.

مصغّرات 2×2 للصف الأول

M₁₁ = 10, M₁₂ = 4, M₁₃ = 9

النشر بالمعاملات المرافقة

det A = 5·10 − (−4)·4 + 3·9 = 93

الإجابة

det A = 93

6.المصفوفات والمحددات

الإجابة: x = 4,5

محدد مصفوفة المعاملات

det A = 3·(−4) − (−4)·5 = 8

استبدل عمود x

det Aₓ = (−7)·(−4) − (−4)·2 = 36

x = 36/8 = 4,5

الإجابة

x = 4,5

y = 5,125

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(0.5) = 1,526

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = e^rt: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·e^rt (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 تكون ω_n التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

الجذور المميِّزة

(r + 2)(r + 3) = 0 → r = −2, −3

الثابتان من القيم الابتدائية

A + B = 1, −2A − 3B = 6

A = 9, B = −8

احسب

y(0,5) = 9·e⁻¹ + (−8)·e^−1,5 = 1,526

الإجابة

y(0,5) = 1,526

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: m = 7,769 kg

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

صُغ المعادلة

dm/dt = 10·0,1 − (10/100)·m = 1 − 0,1·m

الحل

عامل التكامل e^rt/V؛ والحل يقترب من قيمة الاتزان c·V.

m(t) = 10 + (−10)·e^−t/10

عوّض t

m(15) = 10 + (−10)·0,2231 = 7,769 kg

الإجابة

m = 7,769 kg

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods