تُقرَّب f(x) = eˣ عند x = 2 بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة n. مع حد لاغرانج M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! و M = 8، جد أصغر درجة n تضمن خطأً أقل من 0,001.
f(x) = eˣx = 2M = 8ε = 0,001
n =
5.المصفوفات والمحدداتمتوسطة
لتكن C = AB للمصفوفتين المعروضتين. أوجد العنصر c21 (الصف 2، العمود 1).
A = [4 −2; 4 −5]B = [1 −6; 3 6]
c21 =
6.المصفوفات والمحدداتصعبة
أوجد القيمة الذاتية الأكبر λ للمصفوفة A المعروضة.
A = [5 4; 2 −2]
λ =
7.المعادلات التفاضليةمتوسطة
كوب قهوة عند 84 °C تُرك في غرفة عند 21 °C. بعد 5 min تكون درجة حرارتها 57 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 71 °C؟
T0 = 84 °CTa = 21 °CT(5) = 57 °CT = 71 °C
t = min
8.المعادلات التفاضليةصعبة
خزان يحتوي 1000 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,2 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 2 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 105 min؟
V = 1000 Lm0 = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 2 L/min
m = kg
3المحاليل
1.الطرائق العددية
الإجابة: s = 382,5 m
التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.
المجموع الموزون
8 + 2·10 + 2·10 + 2·12 + 2·13 + 2·19 + 17 = 153
قاعدة شبه المنحرف
s = (5/2)·153 = 382,5 m
الإجابة
s = 382,5 m
2.الطرائق العددية
الإجابة: y5 = 0,9361
الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.
خطوات أويلر
y₁ = 0,5 + 0,1·(0,75) = 0,575
y₂ = 0,575 + 0,1·(0,819375) = 0,656937
y₃ = 0,656937 + 0,1·(0,882308) = 0,745168
y₄ = 0,745168 + 0,1·(0,935061) = 0,838674
y₅ = 0,838674 + 0,1·(0,973974) = 0,936072
الرسم البياني
y5 = 0,9361
الإجابة
y5 = 0,9361
القيمة الدقيقة هي y(0,5) = 0,950734.
3.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: C: Σ (4/5)ᵏ
التقارب: إذا لم تؤول الحدود إلى 0 فالمتسلسلة متباعدة (اختبار الحد النوني). Σ1/kᵖ تتقارب فقط عندما p > 1، و Σrᵏ فقط عندما |r| < 1. قارن متسلسلة بإحداهما عندما تسلك حدودها سلوكهما لـ k كبيرة. اختبار النسبة: L = lim |ak+1/ak|؛ اختبار الجذر: L = lim |ak|1/k. L < 1 تتقارب، L > 1 تتباعد، L = 1 لا يحسم شيئًا. متسلسلة القوى Σck(x − x₀)ᵏ تتقارب لـ |x − x₀| < R مع R = lim |ck/ck+1|؛ والمتسلسلة المتناوبة التي تتناقص حدودها إلى 0 تتقارب.
اختبر كل متسلسلة
A: Σ 3ᵏ/k² → اختبار النسبة: L = 3 > 1، تتباعد.
B: Σ 1/√k → متسلسلة p مع p = 1/2 ≤ 1: تتباعد.
C: Σ (4/5)ᵏ → هندسية مع r = 4/5، |r| < 1: تتقارب.
D: Σ (3k + 1)/(k + 2) → تؤول الحدود إلى 3 لا إلى 0: تتباعد باختبار الحد النوني.
الجواب
C: Σ (4/5)ᵏ
الإجابة
C: Σ (4/5)ᵏ
4.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: n = 10
كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.
الحدود لقيم n متزايدة
n = 9: 0,002257 ≥ 0,001
n = 10: 0,0004105 < 0,001
أصغر درجة
n = 10
الإجابة
n = 10
5.المصفوفات والمحددات
الإجابة: c21 = −11
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
صف في عمود
c21 = 4·1 + (−5)·3 = −11
الإجابة
c21 = −11
6.المصفوفات والمحددات
الإجابة: λ = 6
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
المعادلة المميزة
λ² − (3)λ + (−18) = 0
الحل
λ = (3 ± √(81))/2 → λ = −3, 6
λ = 6
الإجابة
λ = 6
7.المعادلات التفاضلية
الإجابة: t = 2,065 min
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.
ثابت التبريد
k = ln(63/36)/5 = 0,1119 min⁻¹
الزمن لبلوغ القيمة المستهدفة
t = ln(63/50)/0,1119 = 2,065 min
الإجابة
t = 2,065 min
8.المعادلات التفاضلية
الإجابة: m = 37,88 kg
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.
صُغ المعادلة
dm/dt = 2·0,2 − (2/1000)·m = 0,4 − 0,002·m
الحل
عامل التكامل ert/V؛ والحل يقترب من قيمة الاتزان c·V.