الطرائق العددية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الطرائق العددية

التنصيف: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
نيوتن–رافسون: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
الاستيفاء الخطي: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
حد خطأ شبه المنحرف: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
أويلر: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
هوين: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

الطريقة

لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

المصفوفات والمحددات

محدد 2×2: det = ad − bc
معكوس مصفوفة 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
المنتج: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
القيم الذاتية: det(A − λI) = 0
قاعدة كرامر: x_i = det(A_i)/det(A)

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.الطرائق العدديةمتوسطة

قرّب ∫₀² eˣ dx بقاعدة شبه المنحرف، n = 2، وقارنه بالقيمة الدقيقة. جد الخطأ المطلق |E| = |T − I|.

f(x) = eˣ[a, b] = [0, 2]n = 2

|E| =

2.الطرائق العدديةصعبة

استخدم طريقة هوين (أويلر المحسّنة) مع h = 0,2 للمسألة y′ = e^−ty، y(0) = 0,5 لتقدير y₃ ≈ y(0,6).

y′ = e^−tyy(0) = 0,5h = 0,2

y₃ =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

طبّق اختبار النسبة على Σ_k=1^∞ k²·4ᵏ/3ᵏ. جد L = lim |a_k+1/a_k|.

a_k = k²·4ᵏ/3ᵏ

L =

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

تُقرَّب f(x) = ln(1 + x) بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 2 عند x = 0,1. استخدم حد خطأ لاغرانج M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! مع M = 2! = 2 لإيجاد أكبر خطأ ممكن |R₂|.

f(x) = ln(1 + x)n = 2x = 0,1M = 2

|R₂| =

5.المصفوفات والمحدداتمتوسطة

لتكن C = AB للمصفوفتين المعروضتين. أوجد العنصر c₁₁ (الصف 1، العمود 1).

A = [−6 −3; −6 2]B = [3 4; 5 3]

c₁₁ =

6.المصفوفات والمحدداتصعبة

حُلّ النظام x − 4y = −9 و −6x − 4y = −10. أوجد x.

x − 4y = −9−6x − 4y = −10

x =

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

حلّ y″ + 7y′ + 12y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 4. أوجد y(1).

y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 3y′(0) = 4

y(1) =

8.المعادلات التفاضليةصعبة

حلّ y″ + 4y′ + 8y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,75)؛ الزوايا بالراديان.

y″ + 4y′ + 8y = 0y(0) = 3y′(0) = 0

y(0.75) =

3المحاليل

1.الطرائق العددية

الإجابة: |E| = 0,5238

التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.

القيمة الدقيقة

I = 6,389056

قاعدة شبه المنحرف

T = (1/2)·(1 + 2·2,718282 + 7,389056) = 6,91281

الخطأ

|E| = |6,91281 − 6,389056| = 0,5238

الإجابة

|E| = 0,5238

الخطأ النسبي: 8,198%.

2.الطرائق العددية

الإجابة: y₃ = 0,9716

الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.

خطوات هوين

y₁ = 0,5 + (0,2/2)(1 + 0,869358) = 0,686936

y₂ = 0,686936 + (0,2/2)(0,871633 + 0,708571) = 0,844956

y₃ = 0,844956 + (0,2/2)(0,713208 + 0,552911) = 0,971568

الرسم البياني

y₃ = 0,9716

الإجابة

y₃ = 0,9716

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: L = 1,333

نسبة الحدود المتتالية

|a_k+1/a_k| = ((k + 1)/k)²·4/3 → 4/3

الخلاصة

L = 1,333 > 1

الإجابة

L = 1,333

L > 1، فالمتسلسلة تتباعد.

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: |R₂| = 0,0003333

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

حد المشتقة

M = 2! = 2

حد لاغرانج

|R₂| ≤ 2·0,1³/3! = 0,0003333

الإجابة

|R₂| = 0,0003333

الخطأ الحقيقي أصغر: |f(0,1) − P₂(0,1)| = 0,0003102.

5.المصفوفات والمحددات

الإجابة: c₁₁ = −33

المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.

صف في عمود

c₁₁ = (−6)·3 + (−3)·5 = −33

الإجابة

c₁₁ = −33

6.المصفوفات والمحددات

الإجابة: x = 0,1429

محدد مصفوفة المعاملات

det A = 1·(−4) − (−4)·(−6) = −28

استبدل عمود x

det Aₓ = (−9)·(−4) − (−4)·(−10) = −4

x = −4/(−28) = 0,1429

الإجابة

x = 0,1429

y = 2,286

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(1) = 0,5585

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = e^rt: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·e^rt (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 تكون ω_n التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

الجذور المميِّزة

(r + 3)(r + 4) = 0 → r = −3, −4

الثابتان من القيم الابتدائية

A + B = 3, −3A − 4B = 4

A = 16, B = −13

احسب

y(1) = 16·e⁻³ + (−13)·e⁻⁴ = 0,5585

الإجابة

y(1) = 0,5585

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(0.75) = 0,7151

الجذور المركّبة

r = −2 ± 2j

الثوابت

A = 3, B = 2·3/2 = 3

احسب

y(0,75) = e^−1,5(3·cos 1,5 + 3·sin 1,5) = 0,7151

الإجابة

y(0,75) = 0,7151

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods