الطرائق العددية: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و8 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الطرائق العددية

التنصيف: c = (a + b)/2, width after n steps (b − a)/2ⁿ
نيوتن–رافسون: x_n+1 = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ)
الاستيفاء الخطي: y = y₁ + (y₂ − y₁)(x − x₁)/(x₂ − x₁)
قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + … + 2f_n−1 + fₙ], h = (b − a)/n
قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + … + 4f_n−1 + fₙ]
حد خطأ شبه المنحرف: |E| ≤ (b − a)h²M/12, M = max|f″|
أويلر: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ)
هوين: y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂), k₂ = f(tₙ + h, yₙ + hk₁)
RK4: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄)

الطريقة

لجذر: تحقق من تغير الإشارة للتنصيف، أو احسب f و f′ لنيوتن، واحتفظ بستة أرقام أو أكثر في جدول التكرارات.
لقيمة في جدول: استوفِ خطيًا بين النقطتين المجاورتين.
لتكامل: جد h = (b − a)/n، واسرد f عند كل عقدة، وطبّق الأوزان (1, 2, …, 2, 1 لشبه المنحرف؛ 1, 4, 2, …, 4, 1 لسيمبسون مع n زوجي) واضرب في h/2 أو h/3.
لمعادلة تفاضلية عادية: تقدّم من t₀ بـ yₙ₊₁ = yₙ + h·f(tₙ, yₙ) (أويلر) أو الميل المتوسط (هوين)، صفًا لكل خطوة، حتى تبلغ t المطلوبة.

المتتاليات والمتسلسلات

متتالية حسابية: aₙ = a₁ + (n − 1)d, Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2
متتالية هندسية: aₙ = a₁rⁿ⁻¹, Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)
المتسلسلة الهندسية اللانهائية: S = a₁/(1 − r), |r| < 1
متسلسلة p: Σ1/kᵖ converges only for p > 1
اختبار النسبة: L = lim |a_k+1/a_k|: L < 1 converges, L > 1 diverges
نصف قطر التقارب: R = lim |c_k/c_k+1|
كثيرة حدود تايلور: Pₙ(x) = Σ f⁽ᵏ⁾(a)(x − a)ᵏ/k!
متسلسلة ماكلورين: eˣ = Σxᵏ/k!, sin x = x − x³/3! + …, cos x = 1 − x²/2! + …, ln(1 + x) = x − x²/2 + …
حد خطأ لاغرانج: |Rₙ| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!

الطريقة

حدد النوع: حسابية (فرق ثابت)، أو هندسية (نسبة ثابتة)، أو متسلسلة معيارية، أو متسلسلة قوى، أو كثيرة حدود تايلور.
للمجاميع استخدم Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2، أو Sₙ = a₁(1 − rⁿ)/(1 − r)، أو S = a₁/(1 − r) عندما |r| < 1، حيث a₁ الحد الأول في المجموع.
للتقارب: اختبار الحد النوني أولًا، ثم قارن مع Σ1/kᵖ أو متسلسلة هندسية، واستخدم اختبار النسبة أو الجذر للمضروبات والقوى النونية.
لكثيرات حدود تايلور اسرد f(a) و f′(a) و f″(a) و …، واقسم المشتقة النونية على k!، وحدّ الخطأ بـ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!.

المصفوفات والمحددات

محدد 2×2: det = ad − bc
معكوس مصفوفة 2×2: A⁻¹ = (1/det)·[d −b; −c a]
المنتج: (AB)_ij = Σ_k A_ikB_kj
القيم الذاتية: det(A − λI) = 0
قاعدة كرامر: x_i = det(A_i)/det(A)

المعادلات التفاضلية

النمو/الاضمحلال الأسّي: dy/dt = ky → y = y₀e^kt
عمر النصف: k = ln 2 / t_½
قانون نيوتن للتبريد: T(t) = T_a + (T₀ − T_a)e^−kt
عامل التكامل: y′ + p(x)y = q(x): μ = e^{∫p dx}, (μy)′ = μq
خزان الخلط: dm/dt = r·c − (r/V)·m

2مسائل تدريبية

1.الطرائق العدديةمتوسطة

تُقاس سرعة مركبة كل 10 s (جدول). قدّر المسافة s المقطوعة من t = 0 إلى t = 60 s بقاعدة شبه المنحرف.

h = 10 sn = 6

s = m

2.الطرائق العدديةصعبة

استخدم طريقة أويلر مع h = 0,25 للمسألة y′ = y − t²، y(0) = 1 لتقدير y₅ ≈ y(1,25).

y′ = y − t²y(0) = 1h = 0,25

y₅ =

3.المتتاليات والمتسلسلاتمتوسطة

متسلسلة واحدة بالضبط من المتسلسلات الأربع تتباعد. انقر عليها.

A: Σ 5/k³B: Σ (−1)ᵏ/kC: Σ (1/2)ᵏD: Σ (7/4)ᵏ

1A: Σ 5/k³
2B: Σ (−1)ᵏ/k
3C: Σ (1/2)ᵏ
4D: Σ (7/4)ᵏ

4.المتتاليات والمتسلسلاتصعبة

استخدم كثيرة حدود ماكلورين من الدرجة 4 للدالة f(x) = cos(−x) لتقريب f(−1,5). أعطِ P₄(−1,5).

f(x) = cos(−x)n = 4x = −1,5

P₄(−1.5) =

5.المصفوفات والمحدداتمتوسطة

أوجد المحدد det A للمصفوفة A ذات 3×3 المعروضة.

A = [−1 −5 −3; 1 −4 1; −2 −1 3]

det A =

6.المصفوفات والمحدداتصعبة

حُلّ النظام 4x − 4y = −9 و 2x − 4y = −6. أوجد x.

4x − 4y = −92x − 4y = −6

x =

7.المعادلات التفاضليةمتوسطة

كوب قهوة عند 95 °C تُرك في غرفة عند 22 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,12 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 11 min.

T₀ = 95 °CT_a = 22 °Ck = 0,12 min⁻¹t = 11 min

T = °C

8.المعادلات التفاضليةصعبة

حلّ y″ + 4y′ + 20y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,75)؛ الزوايا بالراديان.

y″ + 4y′ + 20y = 0y(0) = 2y′(0) = 0

y(0.75) =

3المحاليل

1.الطرائق العددية

الإجابة: s = 520 m

التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2f_n−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4f_n−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.

المجموع الموزون

7 + 2·8 + 2·9 + 2·8 + 2·7 + 2·10 + 13 = 104

قاعدة شبه المنحرف

s = (10/2)·104 = 520 m

الإجابة

s = 520 m

2.الطرائق العددية

الإجابة: y₅ = 2,498

الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: y_n+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، y_n+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: y_n+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.

خطوات أويلر

y₁ = 1 + 0,25·(1) = 1,25

y₂ = 1,25 + 0,25·(1,1875) = 1,546875

y₃ = 1,546875 + 0,25·(1,296875) = 1,871094

y₄ = 1,871094 + 0,25·(1,308594) = 2,198242

y₅ = 2,198242 + 0,25·(1,198242) = 2,497803

الرسم البياني

y₅ = 2,498

الإجابة

y₅ = 2,498

القيمة الدقيقة هي y(1,25) = 2,572157.

3.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: D: Σ (7/4)ᵏ

اختبر كل متسلسلة

A: Σ 5/k³ → متسلسلة p مع p = 3 > 1: تتقارب.

B: Σ (−1)ᵏ/k → متناوبة، و1/k يتناقص إلى 0: تتقارب (تقاربًا مشروطًا).

C: Σ (1/2)ᵏ → هندسية مع r = 1/2، |r| < 1: تتقارب.

D: Σ (7/4)ᵏ → هندسية مع r = 7/4 > 1: تنمو الحدود، فتتباعد.

الجواب

D: Σ (7/4)ᵏ

الإجابة

D: Σ (7/4)ᵏ

4.المتتاليات والمتسلسلات

الإجابة: P₄(−1.5) = 0,08594

كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.

كثيرة حدود ماكلورين

P₄(x) = 1 − 0,5x² + 0,04167x⁴

عوّض

P₄(−1,5) = 1 − 1,125 + 0,210938 = 0,08594

الإجابة

P₄(−1,5) = 0,08594

القيمة الدقيقة هي f(−1,5) = 0,0707372؛ ويتناقص الخطأ −0,0152003 عند أخذ حدود أكثر أو نقطة أقرب إلى 0.

5.المصفوفات والمحددات

الإجابة: det A = 63

المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.

مصغّرات 2×2 للصف الأول

M₁₁ = −11, M₁₂ = 5, M₁₃ = −9

النشر بالمعاملات المرافقة

det A = (−1)·(−11) − (−5)·5 + (−3)·(−9) = 63

الإجابة

det A = 63

6.المصفوفات والمحددات

الإجابة: x = −1,5

محدد مصفوفة المعاملات

det A = 4·(−4) − (−4)·2 = −8

استبدل عمود x

det Aₓ = (−9)·(−4) − (−4)·(−6) = 12

x = 12/(−8) = −1,5

الإجابة

x = −1,5

y = 0,75

7.المعادلات التفاضلية

الإجابة: T = 41,5 °C

المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·e^kt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e^−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e^{∫p dx}: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.

حلّ قانون التبريد

T(t) = 22 + 73·e^−0,12t

عوّض t

T(11) = 22 + 73·0,2671 = 41,5 °C

الإجابة

T = 41,5 °C

8.المعادلات التفاضلية

الإجابة: y(0.75) = −0,4103

المعادلات الخطية من الرتبة الثانية: للمعادلة y″ + b·y′ + c·y = 0 جرّب y = e^rt: فتحصل على المعادلة المميِّزة r² + b·r + c = 0. جذران حقيقيان r₁ ≠ r₂ يعطيان y = A·e^r₁t + B·e^r₂t (فوق التخميد)؛ وجذر مضاعف r يعطي y = (A + Bt)·e^rt (تخميد حرج)؛ وجذران مركّبان −α ± jω يعطيان y = e^−αt(A cos ωt + B sin ωt) (تحت التخميد، متذبذب). تحدد القيمتان الابتدائيتان y(0) وy′(0) الثابتين A وB. وعند كتابتها y″ + 2ζω_ny′ + ω_n²y = 0 تكون ω_n التردد الطبيعي وζ نسبة التخميد: ζ < 1 يعني تذبذبًا. ومع دخل ثابت y″ + by′ + cy = c·K يكون الحل القيمة المستقرة K زائد الاستجابة الحرة.

الجذور المركّبة

r = −2 ± 4j

الثوابت

A = 2, B = 2·2/4 = 1

احسب

y(0,75) = e^−1,5(2·cos 3 + 1·sin 3) = −0,4103

الإجابة

y(0,75) = −0,4103

ExamProblems · examproblems.com/courses/numerical-methods