تُقرَّب f(x) = cos x عند x = 1 بكثيرة حدود ماكلورين من الدرجة n. مع حد لاغرانج M·|x|ⁿ⁺¹/(n + 1)! و M = 1، جد أصغر درجة n تضمن خطأً أقل من 1 × 10⁻⁵.
f(x) = cos xx = 1M = 1ε = 1 × 10⁻⁵
n =
5.المصفوفات والمحدداتمتوسطة
أوجد المحدد det A للمصفوفة A ذات 3×3 المعروضة.
A = [1 −3 −3; −2 3 1; 0 −1 −3]
det A =
6.المصفوفات والمحدداتصعبة
حُلّ النظام −x + 3y = 12 و 4x − y = 0. أوجد x.
−x + 3y = 124x − y = 0
x =
7.المعادلات التفاضليةمتوسطة
علبة مشروب غازي عند 6 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 24 °C. بعد 24 min تكون درجة حرارتها 17 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 6 °CTa = 24 °CT(24) = 17 °C
k = min⁻¹
8.المعادلات التفاضليةصعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + y/x = 4x لـ x > 0، مع y(1) = 3. أوجد y(2).
y′ + y/x = 4xy(1) = 3
y(2) =
3المحاليل
1.الطرائق العددية
الإجابة: T = 0,7451
التكامل العددي: قسّم [a, b] إلى n شريحة عرض كل منها h = (b − a)/n بعقد x₀ … xₙ. قاعدة شبه المنحرف: T = (h/2)[f₀ + 2f₁ + 2f₂ + … + 2fn−1 + fₙ]. قاعدة سيمبسون (n زوجي): S = (h/3)[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + … + 4fn−1 + fₙ]. يتناقص خطأ شبه المنحرف مثل h² (الحد (b − a)h²·M/12 مع M = max|f″|)، وخطأ سيمبسون مثل h⁴، لذا يكون سيمبسون عادةً أدق بكثير للعقد نفسها.
ليس لهذا التكامل دالة أصلية أولية، وهذا هو بالضبط الوقت الذي تلزم فيه قاعدة عددية.
2.الطرائق العددية
الإجابة: y3 = 0,681
الحل العددي لـ y′ = f(t, y): تسير طريقة أويلر على الميل عند بداية كل خطوة: yn+1 = yₙ + h·f(tₙ, yₙ). وتأخذ طريقة هوين (أويلر المحسّنة) متوسط الميل عند البداية وعند تنبؤ أويلر: k₁ = f(tₙ, yₙ)، k₂ = f(tₙ + h, yₙ + h·k₁)، yn+1 = yₙ + (h/2)(k₁ + k₂). وتجمع طريقة رونج–كوتا الكلاسيكية (RK4) أربعة ميول: yn+1 = yₙ + (h/6)(k₁ + 2k₂ + 2k₃ + k₄). الخطأ الكلي لأويلر يتناسب مع h، ولهوين مع h²، ولـ RK4 مع h⁴.
خطوات أويلر
y₁ = 0 + 0,25·(1) = 0,25
y₂ = 0,25 + 0,25·(0,939413) = 0,484853
y₃ = 0,484853 + 0,25·(0,784721) = 0,681034
الرسم البياني
y3 = 0,681
الإجابة
y3 = 0,681
3.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: C: Σ 1/(3ᵏ + k)
التقارب: إذا لم تؤول الحدود إلى 0 فالمتسلسلة متباعدة (اختبار الحد النوني). Σ1/kᵖ تتقارب فقط عندما p > 1، و Σrᵏ فقط عندما |r| < 1. قارن متسلسلة بإحداهما عندما تسلك حدودها سلوكهما لـ k كبيرة. اختبار النسبة: L = lim |ak+1/ak|؛ اختبار الجذر: L = lim |ak|1/k. L < 1 تتقارب، L > 1 تتباعد، L = 1 لا يحسم شيئًا. متسلسلة القوى Σck(x − x₀)ᵏ تتقارب لـ |x − x₀| < R مع R = lim |ck/ck+1|؛ والمتسلسلة المتناوبة التي تتناقص حدودها إلى 0 تتقارب.
اختبر كل متسلسلة
A: Σ (2k + 1)/(k + 2) → تؤول الحدود إلى 2 لا إلى 0: تتباعد باختبار الحد النوني.
B: Σ 1/√k → متسلسلة p مع p = 1/2 ≤ 1: تتباعد.
C: Σ 1/(3ᵏ + k) → أصغر من (1/3)ᵏ، وهي متسلسلة هندسية متقاربة: تتقارب بالمقارنة.
D: Σ 3ᵏ/k² → اختبار النسبة: L = 3 > 1، تتباعد.
الجواب
C: Σ 1/(3ᵏ + k)
الإجابة
C: Σ 1/(3ᵏ + k)
4.المتتاليات والمتسلسلات
الإجابة: n = 8
كثيرات حدود تايلور: قرب x = a تُقرَّب دالة ملساء بـ Pₙ(x) = f(a) + f′(a)(x − a) + f″(a)(x − a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x − a)ⁿ/n!؛ وعندما a = 0 تكون هذه كثيرة حدود ماكلورين. المتسلسلات المعيارية: eˣ = Σxᵏ/k!، sin x = x − x³/3! + x⁵/5! − …، cos x = 1 − x²/2! + x⁴/4! − …، ln(1 + x) = x − x²/2 + x³/3 − …، 1/(1 − x) = Σxᵏ. حد الخطأ للاغرانج: |f(x) − Pₙ(x)| ≤ M·|x − a|ⁿ⁺¹/(n + 1)!، حيث M أكبر قيمة لـ |f⁽ⁿ⁺¹⁾| بين a و x.
الحدود لقيم n متزايدة
n = 7: 2,48 × 10⁻⁵ ≥ 1 × 10⁻⁵
n = 8: 2,756 × 10⁻⁶ < 1 × 10⁻⁵
أصغر درجة
n = 8
الإجابة
n = 8
5.المصفوفات والمحددات
الإجابة: det A = 4
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
مصغّرات 2×2 للصف الأول
M₁₁ = −8, M₁₂ = 6, M₁₃ = 2
النشر بالمعاملات المرافقة
det A = 1·(−8) − (−3)·6 + (−3)·2 = 4
الإجابة
det A = 4
6.المصفوفات والمحددات
الإجابة: x = 1,091
المصفوفات: محدد مصفوفة 2×2 هو ad − bc. وللمصفوفة 3×3، انشر على صف: كل عنصر مضروب في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صفه وعموده، مع إشارات متناوبة + − +. القيم الذاتية λ تحقق det(A − λI) = 0؛ وللمصفوفة 2×2 يكون ذلك λ² − (الأثر)·λ + det = 0.
محدد مصفوفة المعاملات
det A = (−1)·(−1) − 3·4 = −11
استبدل عمود x
det Aₓ = 12·(−1) − 3·0 = −12
x = −12/(−11) = 1,091
الإجابة
x = 1,091
y = 4,364
7.المعادلات التفاضلية
الإجابة: k = 0,03935 min⁻¹
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.
نسبة فروق درجات الحرارة
e−24k = -7/-18
حلّ لإيجاد k
k = ln(-18/-7)/24 = 0,03935 min⁻¹
الإجابة
k = 0,03935 min⁻¹
8.المعادلات التفاضلية
الإجابة: y(2) = 6,167
المعادلات التفاضلية من الرتبة الأولى: للمعادلة dy/dt = k·y الحل y = y₀·ekt (نمو عندما k > 0، واضمحلال عندما k < 0)؛ وعمر النصف T يعطي k = ln 2/T. قانون نيوتن للتبريد dT/dt = −k·(T − Tₐ) يعطي T(t) = Tₐ + (T₀ − Tₐ)·e−kt. المعادلة الخطية y′ + p(x)·y = q(x) تُحلّ بعامل التكامل μ = e∫p dx: (μy)′ = μq، لذا μy = ∫μq dx + C.